[논문 리뷰] On the Hawkes Process with Different Exciting Functions

Behzad Mehrdad, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 05.

Point processes and geometric inequalities인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 각 세대의 도착에 대해 서로 다른 자극 함수를 가진 일반화된 선형 Hawkes 과정을 연구하며, 고전적 Hawkes 모델을 확장한다. 평형 상태 수렴, 대규모 및 중간 규모의 변동 원리, 금융 분야에의 응용(마이크로스트럭처 노이즈 및 지수 감소하는 청구 금액 크기의 파산 확률 포함)을 수립한다.

ABSTRACT

The Hawkes process is a simple point process, whose intensity function depends on the entire past history and is self-exciting and has the clustering property. The Hawkes process is in general non-Markovian. The linear Hawkes process has immigration-birth representation. Based on that, Fierro et al. recently introduced a generalized linear Hawkes model with different exciting functions. In this paper, we study the convergence to equilibrium, large deviation principle, and moderate deviation principle for this generalized model. This model also has connections to the multivariate linear Hawkes process. Some applications to finance are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 각 세대에 대해 서로 다른 자극 함수를 가진 일반화된 선형 Hawkes 과정에서 평형 상태 수렴을 분석하기.
• 고전적 결과를 동일하지 않은 자극 커널으로 확장하여 일반화된 모델에 대해 대규모 및 중간 규모의 변동 원리를 도출하기.
• 일반화된 Hawkes 과정과 다변량 Hawkes 과정 간의 관계를 설정하여 모델링의 유연성 향상하기.
• 이론적 프레임워크를 금융적 맥락에 적용하여 특히 마이크로스트럭처 노이즈와 Hawkes 도착을 가진 리스크 과정에 응용하기.
• Hawkes 도착을 가진 리스크 과정에서 지수 감소하는 청구 금액 분포에 대해 游弋 확률의 점근적 확률을 유도하기.

제안 방법

• 각 세대 $n$에 대해 서로 다른 자극 함수 $\gamma_n(t)$를 가진 일반화된 Hawkes 과정을 구성하기 위해 이민-생산 표현을 사용한다.
• 대규모 및 중간 규모의 변동 원리를 도출하기 위해 라플라스 변환 및 모멘트 생성 함수 기법을 활용한다.
• G"{a}rtner-Ellis 정리와 Cram\'{e}r의 정리를 적용하여 과정 강도에 대한 대규모 변동 결과를 수립한다.
• 재생 이론과 하중 분포의 지수 감소 성질을 활용하여 청구 금액 크기가 긴 꼬리인 경우의 파산 확률을 분석한다.
• 일반화된 모델을 연관된 쌍방향 점과정 시스템과 연결함으로써 다변량 Hawkes 과정과의 관계를 설정한다.
• Glynn와 Whitt(1989)의 랜덤 워크에 대한 대규모 변동 결과를 응용하여 파산 확률의 점근적 행동을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 자극 함수를 가진 일반화된 Hawkes 과정은 어떻게 평형 상태로 수렴하는가?
• RQ2 이 일반화된 모델에 대해 대규모 및 중간 규모의 변동 원리는 무엇인가?
• RQ3 이 모델은 다변량 Hawkes 과정과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 Hawkes 도착과 지수 감소하는 청구 금액 크기를 가진 리스크 과정에 대해 점근적 파산 확률은 무엇인가?
• RQ5 이 모델은 금융 시장의 마이크로스트럭처 노이즈에 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 세대에서 유도되는 총 자극이 유한할 조건 하에서 과정이 평형 상태로 수렴한다.
• 대규모 변동 원리는 과정의 모멘트 생성 함수로부터 유도된 비용 함수를 통해 수립된다.
• 지수 감소하는 청구 금액 크기를 가진 무한 시간 범위의 파산 확률에 대해 점근적 비율은 $\frac{m\mathbb{E}[C_1]}{p - m\mathbb{E}[C_1]}$ 곱하기 통합 尾분포 $\overline{B}_0(u)$ 로 표현된다.
• 유한 시간 범위의 파산 확률에 대해서는 꼬리 지수에 따라 점근적 행동이 달라진다: 거듭제곱 꼬리의 경우 거듭제곱 보정이, Weibull/로그정규 꼬리의 경우 지수 보정이 나타난다.
• 모멘트 생성 함수의 스케일링 극한을 통해 중간 규모의 변동 원리를 도출하였으며, 이는 큰 변동의 지수 감소를 보여준다.
• 자기 자극적인 점과정을 통해 고빈도 금융 데이터의 노이즈와 집중 현상을 철저히 분석할 수 있는 엄밀한 프레임워크를 제공한다.