[논문 리뷰] On the hierarchical risk-averse control problems for diffusion processes

Getachew K. Befekadu, Alexander Veremyev외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 10.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 확산 과정에 대해 스택엘베르크 유형의 프레임워크를 사용하여 계층적 위험 회피 제어 문제를 수립한다. 여기서 리더의 위험 회피 만족도는 팔로워의 것보다 우선시된다. 시간 일관성 있는 $g$-기대에 의해 구동되는 동적 프로그래밍 방정식의 점성 해를 통해 최적의 위험 회피 해의 존재성을 확립한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider a risk-averse control problem for diffusion processes, in which there is a partition of the admissible control strategy into two decision-making groups (namely, the {\it leader} and {\it follower}) with different cost functionals and risk-averse satisfactions. Our approach, based on a hierarchical optimization framework, requires that a certain level of risk-averse satisfaction be achieved for the {\it leader} as a priority over that of the {\it follower's} risk-averseness. In particular, we formulate such a risk-averse control problem involving a family of time-consistent dynamic convex risk measures induced by conditional $g$-expectations (i.e., filtration-consistent nonlinear expectations associated with the generators of certain backward stochastic differential equations). Moreover, under suitable conditions, we establish the existence of optimal risk-averse solutions, in the sense of viscosity solutions, for the corresponding risk-averse dynamic programming equations. Finally, we briefly comment on the implication of our results.

연구 동기 및 목표

• 계층적 위험 회피 제어 문제를 모델링하여 리더의 위험 회피 만족도가 팔로워보다 우선시되도록 한다.
• 조건부 $g$-기대에 의해 유도되는 시간 일관성 있는 동적 볼록 위험 측도를 사용하여 문제를 형식화한다.
• 해당 위험 회피 동적 프로그래밍 방정식의 점성 해를 통해 최적의 위험 회피 전략의 존재성을 확립한다.
• 정보 흐름에 제약이 있는 상황에서 리더와 팔로워 간의 상호작용을 분석한다. 이 경우 팔로워는 리더의 전략에 대한 최적 반응으로 행동한다.
• 상대 엔트로피 제약과 적대적 제어 과정을 포함하는 최소-최대 공식화를 통해 모델 불확실성의 영향을 탐색한다.

제안 방법

• 리더와 팔로워의 제어 $v_t \in V$ 및 $w_t \in W$를 갖는 제어된 확산 과정을 수립하며, 비예측 가능성 및 적분 가능성 조건을 만족시킨다.
• 리더를 위한 하나($\xi_{0,T}^1$)와 팔로워를 위한 하나($\xi_{0,T}^2$)의 비용 기능을 정의하며, 이는 주어진 비용과 종료 비용을 모두 포함한다.
• 후방 확률 미분 방정식(BSDE)의 생성자로부터 유도된 조건부 $g$-기대를 통한 시간 일관성 있는 동적 볼록 위험 측도를 활용한다.
• 리더와 팔로워 각각의 위험 회피 해밀토니안-자코비-벨만(HJB) 방정식을 유도하며, 이는 위험 측도와 관련된 생성자 함수 $g_1$ 및 $g_2$를 포함한다.
• 계수의 적절한 정규성 및 성장 조건 하에서 점성 해 이론을 사용하여 최적 해의 존재성을 확립한다.
• 최적 제어의 피드백 구조를 최적 반응 대응을 통해 분석하며, 팔로워의 전략은 리더의 전략에 조건적으로 결정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확산 과정에 대해 리더의 위험 회피 만족도가 팔로워보다 우선시되는 계층적 위험 회피 제어 문제를 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 시간 일관성 있는 $g$-기대는 이러한 계층적 제어 문제의 동적 위험 측도 모델링에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 리더-팔로워 시스템에서 점성 해 의미에서 최적의 위험 회피 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 리더와 팔로워 간의 제약된 정보 흐름이 최적 제어 전략의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 상대 엔트로피 제약과 적대적 제어 과정을 사용하여 확산 과정의 모델 불확실성을 위험 회피 제어 프레임워크에 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 계층적 위험 회피 제어 문제에 대해 점성 해 의미에서 최적의 위험 회피 전략 쌍 $(v_{\cdot}^*, w_{\cdot}^*)$ 이 존재한다.
• 리더의 최적 제어는 팔로워의 최적 반응 전략을 포함하는 해밀토니안-자코비-벨만 방정식을 최소화함으로써 결정된다.
• 팔로워의 최적 전략은 리더의 HJB 방정식 내부의 하위 문제의 최소화자로 특징지어지며, 이는 최적 반응 대응을 반영한다.
• 기울기 및 확산 계수에 대한 균일 리프시츠 조건, 도함수의 유계성, 그리고 확산 행렬의 균일 타원성 조건 하에서 해의 존재가 보장된다.
• 위험 회피 동적 프로그래밍 방정식은 점성 의미에서 잘 정의되어 있으며, 가치 함수의 안정성과 수렴성을 보장한다.
• 모델 불확실성은 적대적 제어를 포함하는 최소-최대 공식화를 통해 프레임워크에 통합될 수 있으며, 이 경우 편향 과정 $h_t$ 가 지르산프의 정리에 의해 측도 변화를 유도한다.