[논문 리뷰] On the image of l-adic Galois representations for abelian varieties of type I and II

Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda외 1명|ArXiv.org|2004. 07. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 32인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 수체 위의 알버트 분류의 유형 I 및 II에 속하는 아벨 다양체에 대한 l-진 갈루아 표현의 상을 명시적으로 계산하며, 이에 따라 넓은 범위의 이러한 다양체에 대해 무드포트-테이트, 호지, 태트, 랑 추측을 검증한다. 또한 세르의 개방 상 추측의 유사판을 증명하여, 큰 l에 대해 상이 l-진 완비화된 종결체 위의 심플렉틱 군의 위임 보존의 곱임을 보인다.

ABSTRACT

In this paper we investigate the image of the $l$-adic representation attached to the Tate module of an abelian variety over a number field with endomorphism algebra of type I or II in the Albert classification. We compute the image explicitly and verify the classical conjectures of Mumford-Tate, Hodge, Lang and Tate, for a large family of abelian varieties of type I and II. In addition, for this family, we prove an analogue of the open image theorem of Serre.

연구 동기 및 목표

• 알버트 분류의 유형 I 및 II에 속하는 아벨 다양체의 테이트 모듈러스 위의 l-진 갈루아 표현의 정확한 상을 결정하는 것.
• 복소수 곱승을 가진 광범위한 아벨 다양체 클래스에 대해 무드포트-테이트, 호지, 랑, 태트의 고전적 추측을 검증하는 것.
• 이 클래스에 대해 세르의 개방 상 추측의 유사판을 확립하여, 상이 l-진 정수 위의 대수적 군에서 열림을 보이는 것.

제안 방법

• 유한 체 확장에 대한 위임 보존 함자 R_{L/K}를 사용하여 수체 위의 갈루아 표현의 구조를 분석한다.
• l-진 표현의 유형 II 아벨 다양체에 대한 치의 리 대수 및 종결체 대수 결과의 정수론적 형태를 적용한다.
• 이차형식 이론을 활용하여 위임 쌍대성과 갈루아 작용 간의 호환성을 연구한다.
• 갈루아 상의 자리즈키 폐쇄와 대수적 단일 모노드로미 군의 교환자 부분군을 분석한다.
• 한케이브 및 리베트의 허지 군과 갈루아 표현에 관한 결과를 적용하여 허지 및 태트 추측을 검증한다.
• 윙텐버거의 정리를 사용하여 큰 l에 대해 상이 동차 변환군을 포함함을 보여, 랑 추측을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알버트 분류의 유형 I 또는 II에 속하는 아벨 다양체의 테이트 모듈러스 위의 l-진 갈루아 표현의 정확한 상은 무엇인가?
• RQ2 비환위수 종결체 대수를 가진 유형 I 및 II 아벨 다양체에 대해 무드포트-테이트 추측이 성립하는가?
• RQ3 이 아벨 다양체의 클래스에 대해 세르의 개방 상 추측의 유사판을 확립할 수 있는가?
• RQ4 주어진 조건을 만족하는 유형 I 및 II 아벨 다양체에 대해 허지 및 태트 추측이 성립하는가?
• RQ5 큰 l에 대해 갈루아 표현의 상이 l-진 대수적 군에서 열린가?

주요 결과

• 클래스 A에 속하는 아벨 다양체와 충분히 큰 l에 대해, l-진 갈루아 상의 자리즈키 폐쇄의 교환자 부분군은 Q_l 위의 Sp_{2h}에 대한 l-진 소수 위의 위임 보존의 곱과 동형이다.
• 모듈로 l 갈루아 상의 교환자 부분군은 유한체 k_λ 위의 위임 보존의 곱인 Sp_{2h}와 동형이다.
• 무드포트-테이트 추측이 성립한다: 모든 l에 대해 G_l^{alg} = MT(A) ⊗ Q_l 이다.
• 허지 및 태트 추측은 한케이브와 리베트의 기법을 조합하고 허지 군 분석을 통해 클래스 A 아벨 다양체에 대해 검증된다.
• 모든 l에 대해 갈루아 군의 상은 대수적 군 G_l^{alg}(Z_l)에서 열려 있으며, 동차 변환군을 포함하므로 랑 추측이 확인된다.
• 세르의 개방 상 추측의 유사판이 증명된다: ρ_l(G_F)는 C_R(GSp_{(Λ,ψ)})(Z_l)에서 열려 있으며, 유한 지수를 가진다.