[논문 리뷰] On the interplay between notions of additive and multiplicative largeness and its combinatorial applications

Vitaly Bergelson, Daniel Glasscock|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 31.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 41인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 조합론과 수론에서 덧셈적 및 곱셈적 '크기' 개념 간의 상호작용을 조사하며, 곱셈적 크기의 개념이 세 가지의 서로 다른 방식으로 덧셈적 크기의 개념을 함의한다는 것을 입증한다. 유한체에서 곱셈적으로 큰 집합은 이동을 통해 모든 영이 아닌 k제곱수를 포함하도록 변환될 수 있으며, 상부 반반 조밀도가 곱셈적 부분반군에서 양수임을 보여주어, 수반된 산술적 등차수열의 풍부함을 보이며, 고전적인 정리인 Szemerédi와 van der Waerden의 정리를 강화한다.

ABSTRACT

Many natural notions of additive and multiplicative largeness arise from results in Ramsey theory. In this paper, we explain the relationships between these notions for subsets of $\mathbb{N}$ and in more general ring-theoretic structures. We show that multiplicative largeness begets additive largeness in three ways and give a collection of examples demonstrating the optimality of these results. We also give a variety of applications arising from the connection between additive and multiplicative largeness. For example, we show that given any $n, k \in \mathbb{N}$, any finite set with fewer than $n$ elements in a sufficiently large finite field can be translated so that each of its elements becomes a non-zero $k^{ ext{th}}$ power. We also prove a theorem concerning Diophantine approximation along multiplicatively syndetic subsets of $\mathbb{N}$ and a theorem showing that subsets of positive upper Banach density in certain multiplicative sub-semigroups of $\mathbb{N}$ of zero density contain arbitrarily long arithmetic progressions. Along the way, we develop a new characterization of upper Banach density in a wide class of amenable semigroups and make explicit the uniformity in recurrence theorems from measure theoretic and topological dynamics. This in turn leads to strengthened forms of classical theorems of Szemerédi and van der Waerden on arithmetic progressions.

연구 동기 및 목표

• 반군과 환에서 덧셈적 및 곱셈적 크기 개념 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 곱셈적 크기의 개념이 세 가지의 서로 다른 메커니즘을 통해 덧셈적 크기의 개념을 함의함을 보여주는 것.
• 이 결과들을 디오판틴 대수적 근사와 곱셈적 부분반군에서의 산술적 등차수열에 적용하는 것.
• 암시적 반군에서 상부 반반 조밀도의 새로운 특성화를 개발하고, 재귀 정리의 강화를 이루는 것.
• 일부 곱셈적 부분반군에서 양수의 상부 반반 조밀도를 가진 집합이 임의의 길이의 산술적 등차수열을 포함함을 증명하는 것.

제안 방법

• 균일성과 함께 재귀 정리를 포함한 위상수학적 및 측도론적 동역학 도구를 활용한다.
• Syndetic, IP, 중심 집합 등의 크기 클래스를 특성화하기 위해 βℕ의 Stone-Čech 컴actification과 초집합 이론을 적용한다.
• Følner 수열과 점근적 조밀도를 사용하여 암시적 반군에서 상부 반반 조밀도를 정의하고 분석한다.
• 행렬 구성과 변수 단어를 사용하여 결과의 최적성에 대한 명시적 예를 구성한다.
• Hindman의 정리와 IP Szemerédi 정리를 적용하여 큰 집합에서의 조합적 구성의 결과를 도출한다.
• 노름 형식과 대수적 수론을 사용하여 유한체와 수체에서의 곱셈적 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℕ 및 관련 반군에서 곱셈적 크기의 개념이 덧셈적 크기의 개념을 어떤 방식으로 함의하는가?
• RQ2 충분히 큰 유한체에서 크기가 n 미만인 모든 유한 부분집합은 이동을 통해 모든 원소가 영이 아닌 k제곱수가 되도록 이동시킬 수 있는가?
• RQ3 ℕ의 곱셈적 싱게틱 부분집합은 조밀한 디오판틴 대수적 근사를 지원하는가?
• RQ4 ℕ의 곱셈적 부분반군에서 상부 반반 조밀도가 양수인 부분집합(영 조밀도)은 여전히 임의의 길이의 산술적 등차수열을 포함하는가?
• RQ5 넓은 범위의 암시적 반군에서 상부 반반 조밀도를 균일하게 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 곱셈적 크기의 개념이 세 가지의 서로 다른 방식으로 덧셈적 크기의 개념을 함의하며, 명시적 구성에 의해 이 결과들이 최적임을 입증한다.
• 모든 n,k ∈ ℕ에 대해, 충분히 큰 유한체에서 크기가 n 미만인 유한 부분집합은 이동을 통해 모든 원소가 영이 아닌 k제곱수가 되도록 이동시킬 수 있다.
• 세 개의 항으로 이루어진 비상수 산술적 등차수열을 포함하지 않는, ℕ의 곱셈적으로 조합적으로 풍부한 부분집합이 존재함을 보여주어, 곱셈적 풍부성이 반드시 덧셈적 풍부성을 함의하지는 않음을 시사한다.
• 일부 ℕ의 곱셈적 부분반군에서 상부 반반 조밀도가 양수인 부분집합—비록 조밀도가 0이지만—여전히 임의의 길이의 산술적 등차수열을 포함한다.
• 넓은 범위의 암시적 반군에서 상부 반반 조밀도의 새로운 특성화를 개발하여, 더 강력한 형태의 재귀 정리 적용이 가능해졌다.
• 균일성의 재귀성과 곱셈적 환경으로의 확장을 통해 고전적인 Szemerédi 및 van der Waerden 정리를 강화하였다.