[논문 리뷰] On the intrinsic torsion of spacetime structures

José Figueroa-O’Farrill|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 03.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 22인용 수 51

한 줄 요약

이 논문은 비-로렌츠 비공간(갈리레안, 카롤리안, 애리스토텔리언, 바그마니언)과 연관된 G-구조의 고유 비틀림(intrinsic torsion)을 분류하고 각 클래스에 대한 기하학적 특성을 제시한다.

ABSTRACT

We briefly review the notion of the intrinsic torsion of a $G$-structure and then go on to classify the intrinsic torsion of the $G$-structures associated with spacetimes: namely, galilean (or Newton-Cartan), carrollian, aristotelian and bargmannian. In the case of galilean structures, the intrinsic torsion classification agrees with the well-known classification into torsionless, twistless torsional and torsional Newton-Cartan geometries. In the case of carrollian structures, we find that intrinsic torsion allows us to classify Carroll manifolds into four classes, depending on the action of the Carroll vector field on the spatial metric, or equivalently in terms of the nature of the null hypersurfaces of a lorentzian manifold into which a carrollian geometry may embed. By a small refinement of the results for galilean and carrollian structures, we show that there are sixteen classes of aristotelian structures, which we characterise geometrically. Finally, the bulk of the paper is devoted to the case of bargmannian structures, where we find twenty-seven classes which we also characterise geometrically while simultaneously relating some of them to the galilean and carrollian structures. This paper is dedicated to Dmitri Vladimirovich Alekseevsky on his 80th birthday.

연구 동기 및 목표

• 공간 기하학에서 G-구조의 적분 가능성에 대한 첫 번째 장애물로서 고유 비틀림 연구의 동기를 제시한다.
• 갈리레안, 카롤리안, 애리스토텔리언, 및 바그마니언 구조를 정의하는 G-그룹과 특징 텐서를 식별한다.
• 고유 비틀림의 G-모듈 구조를 결정하고 동등성까지 모든 서로 다른 G-구조 유형을 분류한다.
• 각 고유 비틀림 클래스의 기하학적 특성화를 구조를 정의하는 텐서의 기호들(예: τ의 미분, 시계 형식, 공간 측정, 무특이 벡터장 등)과 함께 제공한다.

제안 방법

• G-구조, 각성 연결(adapted connections), 및 Spencer 미분을 통한 고유 비틀림 이론을 검토한다.
• Spencer 미분의 코커런(el) 각 시공 간 구조 유형에 대해 고유 비틀림 성분을 식별하기 위해 계산한다.
• 고유 비틀림 공간의 G-부분 모듈 분해를 결정하고 이를 시계 형식(clock form), 공간 메트릭, 그리고 무특이 벡터장과 같은 특징 텐서와의 해석으로 설명한다.
• 각 클래스의 기하학적 특성화를 텐스의 미분이나 Lie 미분(Lie derivatives) dτ, Lξh, ∇ξ 등을 검토하여 제공한다.
• Null 감소(null reductions)와 내재된 null 초평면(embeded null hypersurfaces)을 통해 바그마니언 구조와 갈리레안/카롤리안 구조 간의 대응 및 축소를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갈리레안, 카롤리안, 애리스토텔리언, 및 바그마니언 시공 기하학에 대응하는 G-구조의 고유 비틀림은 무엇인가?
• RQ2 각 구조의 정의 텐서(시계 형식, 공간 메트릭, 무특이 벡터장) 측면에서 고유 비틀림을 기하학적으로 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 각 시공 구조에 대해 몇 가지 서로 다른 고유 비틀림 클래스가 나타나며, 이들이 알려진 분류(NC, TTNC, TNC 등)와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 바그마니언 구조와 그들의 갈리레안/카롤리안 축소 또는 Null 초평면을 통한 임베딩 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 갈리레안 구조의 고유 비틀림 분류는 알려진 NC, TTNC, TNC 분해와 일치한다.
• 카롤리안 구조는 공간 메트릭에 대한 카롤리안 벡터 필드의 작용 및 유도된 무특이 초평면의 특성으로 구별되는 네 가지 고유 비틀림 클래스를 허용한다.
• 애리스토텔리언 구조는 갈리레안 및 카롤리안 케이스에서 정제된 16개의 고유 비틀림 클래스를 산출한다.
• 바그마니언 구조는 기하학적 특성화와 갈리레안 및 카롤리안 구조와의 연결성을 가진 27개의 고유 비틀림 클래스를 보여준다.
• 고유 비틀림은 Spencer 미분의 코커런트(co-kernel) 안에 존재하며, dτ 및 ∇ξξ 등 정의 텐서의 도함수와 관련된 해석에 의존한다.
• 클래스들 간에는 바그마니언, 갈리레안, 카롤리안 구조를 연결하는 대응 관계와 부분 질서를 형성한다.