[논문 리뷰] On the invariant measure of the random difference equation $X_n=A_n X_{n-1}+ B_n$ in the critical case

Sara Brofferio, Dariusz Buraczewski외 1명|ArXiv.org|2008. 09. 10.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{E}[\log A_1] = 0$ 인 임의의 차분방정식 $X_n = A_n X_{n-1} + B_n$ 의临계 경우에서의 불변 라돈 측도 $\nu$ 를 연구한다. $z \to \infty$ 일 때 적절히 확대된 측도 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ 의 약한 극한이 존재하고, 이는 $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 위의 동차 측도를 정의하며, $A_1$ 의 지지나 모멘트 조건에 제한을 두지 않는 다차원 설정에서 $\nu$ 의 무한대에서의 渐近 행동을 확립한다.

ABSTRACT

We consider the autoregressive model on $\R^d$ defined by the following stochastic recursion $X_n = A_n X_{n-1}+B_n$, where $\{(B_n,A_n)\}$ are i.i.d. random variables valued in $\R^d imes \R^+$. The critical case, when $\E\big[\log A_1\big]=0$, was studied by Babillot, Bougeorol and Elie, who proved that there exists a unique invariant Radon measure $ν$ for the Markov chain $\{X_n \}$. In the present paper we prove that the weak limit of properly dilated measure $ν$ exists and defines a homogeneous measure on $\R^d\setminus \{0\}$.

연구 동기 및 목표

• 임의의 차분방정식 $X_n = A_n X_{n-1} + B_n$ 의 임계 경우에서 유일한 불변 라돈 측도 $\nu$ 의 渐近 행동을 이해하는 것, 여기서 $\mathbb{E}[\log A_1] = 0$ 이다.
• 확대된 측도 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ 가 $z \to \infty$ 일 때의 약한 극한을 분석하여 $\nu$ 의 무한대에서 꼬리 행동을 특성화하는 것.
• 분포 $A_1$ 에 대한 비정기성 또는 작은 모멘트 조건을 요구하지 않는 일반 조건 하에서 $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 에서 동차 극한 측도의 존재를 확립하는 것.
• 극한 동차 측도의 비퇴화성(즉, 식별적으로 0이 아님)을 증명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $G = \mathbb{R}^d \rtimes \mathbb{R}_+^*$ 의 $ax+b$ 군 작용을 통해 마코프 체인 $X_n$ 을 분석한다. 여기서 $(b,a) \cdot x = ax + b$ 이다.
• 확대에 의한 $\nu$ 의 투영, 즉 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ 를 연구하고, $z \to \infty$ 일 때의 약한 수렴을 증명한다.
• 증명은 스펙트럼 이론과 군 $G$ 위의 랜덤 워크 맥락에서의 파oisson 방정식을 활용하며, 특히 $A^\lambda$ 연산자와 $\lambda \nearrow 1$ 일 때의 수렴을 분석한다.
• 조케-데니 정리를 조화 함수에 적용하고, 분포적 의미에서의 푸리에 분석을 사용하여 잠재핵의 감쇠를 제어한다.
• 중심화된 증분 $Y = \log A_1$ 과 관련된 함수 $r(x)$ 를 정의하고, 그 성질을 사용하여 적분 가능성과 감쇠 조건을 확립한다.
• 푸리에 변환이 컴actsupport를 가지는 함수의 집합인 $\mathcal{F}(\overline{\mu})$ 를 사용하여, 파oisson 방정식 프레임워크 내에서 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 임의의 차분방정식 $X_n = A_n X_{n-1} + B_n$ 의 불변 라돈 측도 $\nu$ 는 무한대에서 동차 꼬리 구조를 나타내는가?
• RQ2 확대된 측도 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ 가 $z \to \infty$ 일 때의 약한 극한은 무엇인가?
• RQ3 분포 $\mu$ 에 대한 일반적인 모멘트 및 지지 조건 하에서 동차 극한 측도가 비퇴화됨을 입증할 수 있는가?
• RQ4 분포 $A_1$ 이 $\mathbb{E}[\log A_1] = 0$ 인 경우 $\nu$ 의 渐近 행동은 어떻게 달라지는가?
• RQ5 극한 측도는 특정 차수의 동차 측도인가? 그리고 그의 반경 분해는 무엇인가?

주요 결과

• $z \to \infty$ 일 때 $\delta_{(0,z^{-1})} \ast_G \nu$ 의 약한 극한이 존재하며, 이는 $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 위의 동차 라돈 측도를 정의한다. 이것이 주요 구조적 결과이다.
• 극한 측도는 차수 0의 동차 측도이므로 스케일링에 대해 불변이며, 수축 경우와 유사한 반경 분해를 가진다.
• 제시된 모멘트 및 지지 조건 하에서 극한 측도는 비퇴화되어 있다(즉, 식별적으로 0이 아니며, 따라서 渐近 행동이 의미가 있다).
• 분포 $\mu_A$ 가 $\mathbb{R}_+^*$ 를 생성하거나 산산이 흩어져 있음을 요구하지 않아도 결과가 성립하므로, 이는 이전 결과를 더 넓은 분포 클래스로 확장한다.
• 증명은 잠재핵 $r(x)$ 가 모멘트 조건에 따라 지수 또는 다항 감쇠함을 보여주며, 이는 파oisson 방정식 프레임워크 내에서의 수렴을 가능하게 한다.
• 저자들은 $\mathbb{E}[|\log A_1|^{4+\varepsilon}] < \infty$ 일 때 함수 $r$ 이 클래스 $\mathcal{F}(\overline{\mu})$ 에 속함을 보이며, 이는 적분 가능성 보장과 스펙트럼 방법의 사용을 가능하게 한다.