[논문 리뷰] On the joint spectral radius for isometries of non-positively curved spaces and uniform growth

Emmanuel Breuillard, Koji Fujiwara|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 37인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 비양의 곡률을 가진 공간에서의 동시 스펙트럴 반경에 대한 기하적 프레임워크를 제안하며, Berger-Wang 및 Bochi의 결과를 $\delta$-하이퍼볼릭 공간과 비유한형 대칭 공간으로 확장한다. 기하학적 Berger-Wang 항등식과 Bochi 유형 부등식을 수립하고, 비가상적으로 노름이 없는 군이 이러한 공간에 작용할 경우 균일한 지수적 성장을 증명하며, 성장률의 하한은 차원과 곡률 한계에만 의존한다.

ABSTRACT

We recast the notion of joint spectral radius in the setting of groups acting by isometries on non-positively curved spaces and give geometric versions of results of Berger-Wang and Bochi valid for $δ$-hyperbolic spaces and for symmetric spaces of non-compact type. This method produces nice hyperbolic elements in many classical geometric settings. Applications to uniform growth are given, in particular a new proof and a generalization of a theorem of Besson-Courtois-Gallot.

연구 동기 및 목표

• 등급이 $\delta$-하이퍼볼릭 공간과 비유한형 대칭 공간인 등급 군 작용에 대해 Berger-Wang 항등식과 Bochi 부등식을 일반화하기.
• 점근적 동시 이동 거리 $\ell(S)$와 최소 이동 거리 $L(S)$를 통한 동시 스펙트럴 반경의 기하학적 특성화 수립.
• 차원과 곡률 제약 조건이 약간 있을 경우, 비음의 곡률을 가진 공간에 등급 작용하는 유한 생성 군에 대해 균일한 지수적 성장 증명.
• 국소 대칭 공간에서 엔트로피와 체적 성장에 관한 Besson-Courtois-Gallot 정리의 새로운 증명과 일반화.
• 이동 기반 기준을 사용하여 기하학적 군 작용에서 하이퍼볼릭 원소와 자유 부분세미군의 존재성 조사.

제안 방법

• 메트릭 공간 $X$에서 등급 등장사상의 유한 집합 $S$에 대해 $L(S) = \inf_{x \in X} \max_{s \in S} d(x, sx)$로 정의된 동시 최소 이동 거리 $L(S)$를 정의한다.
• 클래식한 동시 스펙트럴 반경을 일반화하는 점근적 동시 이동 거리 $\ell(S) = \lim_{n \to \infty} L(S^n)/n$를 도입한다.
• 곡률과 유계 포장 성질을 이용하여 기하학적 Berger-Wang 항등식 $\ell(S) = \lambda_\infty(S)$를 수립한다. 여기서 $\lambda_\infty(S) = \sup_n \frac{1}{n} \lambda(S^n)$이다.
• 리치 곡률이 아래로 유계된 다양체에서 Bishop-Gromov 부등식과 유계 포장을 사용하여 체적 성장을 통제하고 균일한 상한을 도출한다.
• 기하학적 Berger-Wang 항등식을 적용하여, $d$차원 CAT(0) 공간에서 곡률 $K \leq -a^2$를 만족하는 비가상적으로 노름이 없는 군이 균일한 지수적 성장을 보이며, 성장률이 $\frac{1}{N} \log 2$ 이상임을 증명한다. 여기서 $N$은 $d$와 $a$에만 의존한다.
• 등장사상의 이동과 하이퍼볼리시티를 이용하여 $S^N$ 내의 자유 세미군의 존재를 활용하여 균일한 지수적 성장을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등급 등장사상에 대해 $\delta$-하이퍼볼릭 공간과 비유한형 대칭 공간에서 기하학적 Bochi 유형 부등식이 성립하는가?
• RQ2 차원과 곡률에만 의존하는 성장률을 갖는, 비음의 곡률을 가진 공간에서의 이산 등급 등장사상 군에 대해 균일한 지수적 성장을 확립할 수 있는가?
• RQ3 특히 대칭 공간에 대해 선형 대수학을 피하는 기하학적 증명이 Berger-Wang 항등식과 Bochi 부등식에 대해 가능한가?
• RQ4 CAT(0) 큐브 복합체나 중앙 공간의 등장사상은 기하학적 Bochi 부등식을 만족하는가?
• RQ5 대칭 공간이나 유클리드 빌딩에서 이동 거리의 상한 $\lambda_k(S) \geq L(S) - C$에 있는 곱셈 상수 $C$를 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 기하학적 Berger-Wang 항등식이 성립한다: $\ell(S) = \lambda_\infty(S)$는 $\delta$-하이퍼볼릭 공간과 비유한형 대칭 공간에서의 등급 작용에 대해 성립한다.
• 리치 곡률 $\geq -(d-1)a^2$인 $d$차원 완비 리만 다양체는 상수 $K(d,a)$를 가진 유계 포장을 가지며, 이는 체적 성장에 대한 균일한 통제를 보장한다.
• 곡률 $K \leq -a^2$를 만족하는 $d$차원 CAT(0) 공간 $X$에서의 등급 등장사상 군 $\Gamma = \langle S \rangle$는 유한 생성된 이산 부분군으로서, 가상적으로 노름이 있거나, 성장률 $h(S) \geq \frac{1}{N} \log 2$를 갖는 균일한 지수적 성장을 보인다. 여기서 $N = N(K(d,a)^3)$이다.
• $S^N$ 내에 두 개의 자유 생성원이 존재하면 균일한 지수적 성장이 유도되며, $N$은 $d$와 $a$에만 의존한다. 특정 생성 집합에 따라 달라지지 않는다.
• 균일한 지수적 성장 증명은 생성 집합 $S$의 선택에 영향을 받지 않으며, 곡률과 차원에만 의존한다. 이는 Besson-Courtois-Gallot 정리의 새로운 증명을 제공한다.
• 이 방법은 특히 대칭 공간과 $\delta$-하이퍼볼릭 공간에 대해 동시 스펙트럴 반경 이론에서 선형 대수 기법의 기하학적 대체를 제공한다.