[논문 리뷰] On the law of the supremum of Lévy processes

Loïc Chaumont|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 레비 과정 $X$의 최대값 $\overline{X}_t = \sup_{s\leq t} X_s$의 법칙의 절대연속성에 대한 필요 및 충분 조건을 확립하며, 0이 $(-\infty,0)$ 과 $(0,\infty)$ 에 대해 모두 정규일 경우, 이는 재분포 측도의 절대연속성과 동치임을 보여준다. 주요 방법은 반사된 과정의 산출 이론과 입구 법칙을 이용하여 $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ 의 결합 분포를 도출하는 것으로, 브라운 운동에 드리프트가 있는 경우와 대칭 코시 과정에 대해 명시적인 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We show that the law of the overall supremum $\bar{X}_t=\sup_{s\le t}X_s$ of a Lévy process $X$ before the deterministic time $t$ is equivalent to the average occupation measure $μ_t(dx)=\int_0^t\p(X_s\in dx)\,ds$, whenever 0 is regular for both open halflines $(-\infty,0)$ and $(0,\infty)$. In this case, $\p(\bar{X}_t\in dx)$ is absolutely continuous for some (and hence for all) $t>0$, if and only if the resolvent measure of $X$ is absolutely continuous. We also study the cases where 0 is not regular for one of the halflines $(-\infty,0)$ or $(0,\infty)$. Then we give absolute continuity criterions for the laws of $(\bar{X}_t,X_t)$, $(g_t,\bar{X}_t)$ and $(g_t,\bar{X}_t,X_t)$, where $g_t$ is the time at which the supremum occurs before $t$. The proofs of these results use an expression of the joint law $\p(g_t\in ds,X_t\in dx,\bar{X}_t\in dy)$ in terms of the entrance law of the excursion measure of the reflected process at the supremum and that of the reflected process at the infimum. As an application, this law is made (partly) explicit in some particular instances.

연구 동기 및 목표

• 레비 과정 $X$의 결정적 시간 $t$ 이전에 최대값 $\overline{X}_t$ 의 법칙의 절대연속성에 대한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 이 기준을 $g_t$ 가 마지막 최대값의 시간임을 고려한 $(g_t, \overline{X}_t)$ 와 $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ 의 결합 법칙으로 확장하는 것.
• 산출 이론을 이용하여 결합 법칙 $\mathbb{P}(g_t \in ds, \overline{X}_t \in dx, \overline{X}_t - X_t \in dy)$ 의 명시적 표현을 제공하는 것.
• 특수한 경우, 예를 들어 드리프트가 있는 브라운 운동과 대칭 코시 과정에서 삼중법 $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ 의 법칙을 복구하고 명시적으로 표현하는 것.

제안 방법

• 논문은 $X_t$ 가 $\mathbb{R}_+$ 에서의 법칙과 반사된 과정의 최소값에서의 입구 법칙 사이의 등가성을 사용한다.
• 결합 법칙 $\mathbb{P}(g_t \in ds, \overline{X}_t \in dx, \overline{X}_t - X_t \in dy)$ 는 $q_s^*(dx) q_{t-s}(dy) \mathbf{1}_{[0,t]}(s) \, ds$ 로 표현되며, 여기서 $q_s^*$ 와 $q_{t-s}$ 는 각각 최대값과 최소값에서의 입구 법칙이다.
• 분석은 반사된 과정의 산출 이론, 특히 최대값과 최소값에서의 입구 법칙 $q_t^*$ 와 $q_t$ 에 기반한다.
• 정규가 아닌 경우에도 정리 6 을 통해 기존의 정규 케이스를 초월한 결합 법칙 표현의 일반화가 가능하다.
• 이 방법은 $\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ 의 절대연속성과 $U(dx)$ 의 절대연속성 간의 등가성을 보여주는 재분포 측도 $U(dx)$ 와의 연결을 통해 $\overline{X}_t$ 의 법칙과 연결된다.
• 복합 포아송 과정의 경우, 순환적 교환 가능 체인과 약한 기록에 관한 핵심 보조정리를 사용하여 별도의 다루기가 제공된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 과정의 최대값 $\overline{X}_t$ 의 법칙이 절대연속이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 재분포 측도 $U(dx)$ 의 절대연속성과 $\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ 의 절대연속성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 0이 두 반직선에 모두 정규일 경우, $\mathbb{P}(g_t \in ds, \overline{X}_t \in dx, X_t \in dy)$ 의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ4 드리프트가 있는 브라운 운동이나 대칭 코시 과정과 같은 특정 케이스에서 $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ 의 결합 법칙을 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ5 최대값과 최소값에서의 산출 입구 법칙은 $\overline{X}_t$ 의 분포를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 0이 $(-\infty,0)$ 과 $(0,\infty)$ 에 대해 모두 정규일 경우, $\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ 의 법칙이 절대연속임은 재분포 측도 $U(dx)$ 가 절대연속임과 동치이다.
• 동일한 정규 조건 하에서 $\overline{X}_t$ 의 법칙은 평균 점유 측도 $\mu_t^+(dx) = \int_0^t \mathbb{P}(X_s \in dx) \, ds$ 와 동치이다.
• 드리프트가 있는 브라운 운동의 경우, 입구 법칙 표현을 통해 결합 법칙 $\mathbb{P}(g_t \in ds, \overline{X}_t \in dx, X_t \in dy)$ 가 명시적으로 도출된다.
• 대칭 코시 과정의 경우, 동일한 방법을 통해 삼중법 $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ 의 법칙이 명시적으로 표현된다.
• 이산 레비 측도를 가진 복합 포아송 과정의 경우, 하르트만–윈터 정리에 따라 $\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ 는 연속 특이이며 절대연속이 아니다.
• $(g_t, \overline{X}_t)$ 의 결합 법칙은 유일한 음성 레비 과정의 경우 유도된 입구 법칙 프레임워크를 사용하여 계산 가능하다.