[논문 리뷰] On the Manin-Mumford and Mordell-Lang conjectures in positive characteristic

Damian Rössler|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 논리적 함의를 확립한다: 아벨 다양체에 대한 함수체 위에서, 군이 유한생성일 경우, 만인-무프드 추측이 모델-랑 추측을 함의한다. 프로베니우스와 베르슈비exion 사상에 관여하는代수기하 기법을 사용하여, 부분다양체의 이동에서 토션 점들의 집합이 자리지 밀도가 아닐 경우, 그 집합과 유한생성 군의 교차는 자리지 밀도가 될 수 없다는 것을 증명한다. 이는 이 설정에서 모델이론을 사용하지 않는 모델-랑 추측의 증명을 제공한다.

ABSTRACT

We prove that in positive characteristic, the Manin-Mumford conjecture implies the Mordell-Lang conjecture, in the situation where the ambient variety is an abelian variety defined over the function field of a smooth curve over a finite field and the relevant group is a finitely generated group. In particular, in the setting of the last sentence, we provide a proof of the Mordell-Lang conjecture, which does not depend on tools coming from model theory.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 만인-무프드 추측이 모델-랑 추측으로 이끌어지는 논리적 함의를 확립하는 것.
• 함수체 위의 아벨 다양체에 대해, 이론적 설정에서 모델-랑 추측을 대수기하적 방법으로 증명하는 것.
• 특히 아벨 다양체가 일반적이지 않은 경우에도, 하루쉬프스키의 자리지 기하학 등 모델이론 도구에 의존하지 않는 것.
• 차별화된 미분기하학적 접근과는 달리, 갈루아 이론적 방정식을 사용하여 예외적 집합의 구조를 분석하는 것.
• 기저 체 위의 함수체로의 기본 변화에서 유래하는 다양체이면서 군이 유한생성일 경우, 모델-랑 추측이 만인-무프드 추측으로부터 유도됨을 보이는 것.

제안 방법

• 어떤 부분다양체의 이동에서 토션 점들의 집합이 자리지 밀도가 아니라고 가정할 때, 그 집합과 유한생성 군의 교차가 밀도가 될 경우 모순을 이끌어내는 것.
• $A(K)$ 위의 $p$-진 위상 구조를 적용하고, $A(K)$ 내에서 수렴하는 점의 수열 $Q_i$를 구성하여, 모든 $l$에 대해 $X+Q$가 $p^l \cdot A(K)$ 와 조밀하게 교차하는 극한점 $Q$를 얻는 것.
• 프로베니우스 사상 $\mathrm{Frob}_{{\cal A}/S}$ 와 베르슈비exion 사상 $\mathrm{Ver}$ 를 사용하여, $[p^l]^*$ 에 의한 부분다양체의 역상 분석을 하며, 프로베니우스에 의한 기저 변경을 포함하는 카르테시안 도형을 활용하는 것.
• 역상 $\mathcal{X}_1$ 이 기저 스킴 $S$ 위에서 정수적, 매끄럽고 평탄하다는 것을 보이는 것.
• $\mathcal{X}_2 = (\mathrm{Frob}^{l,*}_{{\cal A}/S}(\mathcal{X}_1))_{\mathrm{red}}$ 는 기하학적으로 감소하고 평탄하며, $({\cal X}_2)^{(p^l)} \cong \mathcal{X}_1$ 이라는 기저 변경을 통해 동형임을 보이는 것.
• 볼로흐의 보조정리를 적용하여 $\mathcal{X}_2$ 가 $S$ 위에서 매끄럽다는 것을 증명하고, $[p^l]$ 의 유한성과 평탄성으로부터 $\mathcal{X}_2 \to \mathcal{X}^{+Q}$ 의 전사성을 보이며, 이는 4.1정리와 모순이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모델이론을 사용하지 않고, 양의 특성에서 만인-무프드 추측으로부터 모델-랑 추측을 유도할 수 있는가?
• RQ2 모델이론적 방법(예: 하루쉬프스키-지르버 이론)을 대체할 수 있는 대수기하 도구는 무엇인가?
• RQ3 프로베니우스와 베르슈비exion 사상은 함수체 위의 아벨 다양체 부분다양체에서 유리점의 밀도를 분석하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 $A(K)$ 내에서의 $p$-진 위상과 수열의 수렴성은 밀도 가정에 대한 반례를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 갈루아 이론적 방정식은 미분기하학적 접근과 다를 바 있는 부분다양체의 예외적 집합의 구조를 분석하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 기저 체 위의 함수체에서 유한생성 군을 갖는 아벨 다양체의 설정에서, 만인-무프드 추측이 모델-랑 추측을 함의한다.
• 하루쉬프스키의 자리지 기하학 등 모델이론 도구를 회피하여 순수하게 대수기하적 추론을 제공한다.
• 모순은 모든 $l$에 대해 $X+Q$ 가 $p^l \cdot A(K)$ 와 조밀하게 교차하는 극한점 $Q$ 를 구성함으로써 발생하며, 이는 토션 점들이 자리지 밀도가 아니라는 가정과 모순된다.
• $\mathrm{Ver}^{l,*}(\mathcal{X}^{+Q})$ 는 $S$ 위에서 정수적, 매끄러운 스킴들의 분리된 합집합임을 보이고, 그 중 하나인 $\mathcal{X}_1$ 을 선택하여, 그 프로베니우스 역상이 감소하고 평탄하며 매끄러운 스킴 $\mathcal{X}_2$ 를 얻는다.
• $({\cal X}_2)^{(p^l)} \cong \mathcal{X}_1$ 이고 $\mathcal{X}_2 \to \mathcal{X}^{+Q}$ 는 전사적이므로, $\mathcal{X}^{+Q}$ 의 모든 $\bar{k}$-점은 $\mathcal{X}^{+Q}(S^{\rm sh}) \cap p^l \cdot \mathcal{A}(S^{\rm sh})$ 내의 점으로 올라간다. 이는 4.1정리와 모순된다.
• 이 방법은 뷰이움의 미분기하학적 접근과 하루쉬프스키의 모델이론적 기법과 다름을 이끌어내며, 예외적 집합 $\mathrm{Exc}$ 를 분석하기 위해 갈루아 방정식을 사용한다.