[논문 리뷰] On the maximal number of elements pairwise generating the symmetric group of even degree

Francesco Fumagalli, Martino Garonzi외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 29.

Finite Group Theory Research참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 짝수 차수의 대칭군 $S_n$에 대해, 상호 생성 집합의 최대 크기 $\omega(S_n)$와 적절한 부분군으로의 최소 커버링 수 $\sigma(S_n)$가 모두 $n \to \infty$일 때 $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2}$에 점 渐차적으로 수렴함을 증명한다. 저자들은 로바시의 국소 렘마를 사용하여 이러한 집합을 구성하고, $\sigma(S_n)/\omega(S_n) \to 1$임을 증명함으로써, 짝수 $n$에 대한 대칭군 생성 이론에서 오랫동안 남아 있던 점근적 등가성 문제를 해결한다. 이 결과는 조합론적 군론과 확률적 방법을 통해 도출되었으며, 에버하르트와 비르호프의 연구를 통해 분류 이론에 의존하지 않는 $\omega(S_n) \geq (1 - o(1))n$의 하한을 확보한다.

ABSTRACT

Let $G$ be the symmetric group of degree $n$. Let $\\omega(G)$ be the maximal size of a subset $S$ of $G$ such that $\\langle x,y \ angle = G$ whenever $x,y \\in S$ and $x \ eq y$ and let $\\sigma(G)$ be the minimal size of a family of proper subgroups of $G$ whose union is $G$. We prove that both functions $\\sigma(G)$ and $\\omega(G)$ are asymptotically equal to $\\frac{1}{2} \\binom{n}{n/2}$ when $n$ is even. This, together with a result of S. Blackburn, implies that $\\sigma(G)/\\omega(G)$ tends to $1$ as $n \ o \\infty$. Moreover, we give a lower bound of $(1-o(1))n$ on $\\omega(G)$ which is independent of the classification of finite simple groups. We also calculate, for large enough $n$, the clique number of the graph defined as follows: the vertices are the elements of $G$ and two vertices $x,y$ are connected by an edge if $\\langle x,y \ angle \\geq A_n$.

연구 동기 및 목표

• 짝수 $n$에 대해 대칭군 $S_n$에서 상호 생성 집합의 최대 크기 $\omega(S_n)$의 점근적 행동을 규명하는 것.
• 최소 커버링 수 $\sigma(S_n)$와 $\omega(S_n)$ 사이의 점근적 등가성을 확립하여, $n \to \infty$일 때 $\sigma(S_n)/\omega(S_n) \to 1$임을 보이는 것.
• 유한 단순군 분류에 의존하지 않는 $\omega(S_n)$에 대한 분류 자유 하한을 제공하는 것.
• $S_n$ 원소들로 구성된 그래프의 클리크 수를 계산하는 것. 여기서 간선은 $\langle x,y \rangle \geq A_n$를 만족하는 쌍에 의해 정의되며, 이는 기존 결과를 $\langle x,y \rangle \geq A_n$로 확장한다.

제안 방법

• 두 개의 블록을 가진 비순환적 최대 부분군에서 $n$-순환을 구성하는 확률적 방법을 사용하며, 이는 로바시의 국소 렘마를 활용한다.
• $S_n$ 위에 정의된 두 그래프 $Q^{(1)}$과 $Q^{(2)}$를 정의한다. 여기서 $Q^{(1)}$의 간선은 $S_n$을 생성하는 쌍에 대응하고, $Q^{(2)}$의 간선은 $\geq A_n$을 생성하는 쌍에 대응한다. 이들의 클리크 수를 근사한다.
• 로바시의 국소 렘마를 사용하여, 각 최대 부분군에서 무작위로 선택한 $n$-순환들이 양호한 상호 생성 집합을 이룰 확률이 양수임을 보인다.
• 무작위로 선택한 두 원소가 구성된 가족 외부의 동일한 최대 부분군에 속할 확률을 유도하기 위해, 공轭류 수와 부분군 교차 수의 한계를 사용한다.
• 에버하르트와 비르호프의 분류 자유 결과를 활용하여, $\omega(S_n)$ 및 $\omega(A_n)$에 대한 하한을 유도한다.
• $S_n$의 최대 부분군에 관한 결과, 예를 들어 프레이거-삭슬의 경계와 순환형태 제약 조건을 활용하여, 국소 렘마 적용 시 오차 확률을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 짝수 $n$에 대해, $S_n$에서 상호 생성 집합의 최대 크기인 $\omega(S_n)$의 점근적 성장률은 무엇인가요?
• RQ2 짝수 $n$에 대해 $\sigma(S_n)$와 $\omega(S_n)$는 점근적으로 어떻게 관련되어 있으며, $\sigma(S_n)/\omega(S_n) \to 1$인지 여쭙니다.
• RQ3 분류 이론에 의존하지 않고 $\omega(S_n)$에 대한 하한을 확립할 수 있을까요?
• RQ4 큰 짝수 $n$에 대해, $\langle x,y \rangle \geq A_n$를 만족하는 쌍을 간선으로 가지는 $S_n$ 위의 그래프에서 클리크 수는 얼마인가요?
• RQ5 특히 비순환적이고 비전이적인 최대 부분군의 구조는 큰 상호 생성 집합을 구성하는 데 어떻게 영향을 미치나요?

주요 결과

• 짝수 $n$에 대해, $\omega(S_n)$와 $\sigma(S_n)$는 모두 점근적으로 $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2}$와 같으며, $n \to \infty$일 때 비율 $\sigma(S_n)/\omega(S_n) \to 1$이다.
• 모든 서로 다른 $x,y \in X$에 대해 $\langle x,y \rangle \geq A_n$를 만족하는 $X \subseteq S_n$의 최대 크기는, $n/2$가 짝수이면 $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2} + 2^{n-2}$이고, $n/2$가 홀수이면 $2^{n-2}$이며, 이는 충분히 큰 짝수 $n$에 대해 성립한다.
• 에버하르트와 비르호프의 무분류 결과를 활용하여, 분류 이론에 의존하지 않는 $\omega(S_n) \geq (1 - o(1))n$의 하한이 확립된다.
• 로바시의 국소 렘마를 성공적으로 적용하여, 크기가 $\sim \frac{1}{2}\binom{n}{n/2}$인 상호 생성 집합을 구성하였으며, 부분군의 공轭류 및 교차 수의 제약 조건을 통해 오차 확률을 제어하였다.
• 증명은 $S_n$의 최대 부분군을 비순환적, 비전이적, 원시적 유형으로 분류하고, 두 무작위 생성자가 같은 유형의 부분군에 속할 확률을 근사함으로써 이루어진다.
• $S_n$ 위의 그래프에서 간선이 $\langle x,y \rangle \geq A_n$를 만족하는 경우, 클리크 수는 $n/2$가 짝수이면 정확히 $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2} + 2^{n-2}$이고, $n/2$가 홀수이면 $2^{n-2}$이며, 이는 큰 짝수 $n$에 대해 성립한다.