[논문 리뷰] On the Mean Connected Induced Subgraph Order of Cographs

Matthew E. Kroeker, Lucas Mol외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 06.

Graph theory and applications참고 문헌 12인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 연결된 유도 부분그래프의 평균 순서를 최대화하고 최소화하는 극값 cograph를 규명한다. $ n \geq 7 $ 인 연결 cograph에 대해, 별 $ K_{1,n-1} $ 는 평균 연결 유도 부분그래프 순서를 최대화하고, $ n $-스키illet $ K_1 + (K_1 \cup K_{n-2}) $ 는 이를 최소화함을 증명한다. cograph의 조밀도(평균 순서를 $ n $ 으로 나눈 값)는 渐近적으로 $ 1/2 $ 에 수렴하며, 임의의 정점에서의 국소 평균은 항상 전반 평균보다 크거나 같다.

ABSTRACT

In this article the extremal structures for the mean order of connected induced subgraphs of cographs are determined. It is shown that among all connected cographs of order $n \ge 7$, the star $K_{1,n-1}$ has maximum mean connected induced subgraph order, and for $n \ge 3$, the $n$-skillet, $K_1+(K_1 \cup K_{n-2})$, has minimum mean connected induced subgraph order. It is deduced that the density for connected cographs (i.e. the ratio of the mean to the order of the graph) is asymptotically $1/2$. The mean order of all connected induced subgraphs containing a given vertex $v$ of a cograph $G$, called the local mean of $G$ at $v$, is shown to be at least as large as the mean order of all connected induced subgraphs of $G$, called the global mean of $G$.

연구 동기 및 목표

• 순서 $ n $ 인 cograph 중에서 연결된 유도 부분그래프의 평균 순서를 극값화하는 것을 규명하는 것.
• 최대 및 최소 평균 연결 유도 부분그래프 순서를 갖는 연결 cograph의 구조를 규명하는 것.
• cograph에서 정점에서의 국소 평균과 전반 평균 간의 관계를 분석하는 것.
• 연결 cograph의 점근적 조밀도를 설정하는 것. 여기서 조밀도는 평균 부분그래프 순서를 그래프 순서로 나눈 비율이다.
• 각 정점에서의 국소 평균이 항상 전반 평균보다 크거나 같은지 여부를 규명하고, 이 성질이 cograph 이외의 그래프에도 적용되는지 조사하는 것.

제안 방법

• 저자들은 연결된 유도 부분그래프 다항식 $ \Phi_G(x) = \sum_{k=1}^n a_k(G) x^k $ 를 사용한다. 여기서 $ a_k(G) $ 는 순서 $ k $ 인 연결된 유도 부분그래프의 수를 세는 것이다.
• 전반 평균 $ M_G $ 는 로그 미분 $ \Phi_G'(1)/\Phi_G(1) $ 으로 계산되며, 이는 연결된 유도 부분그래프의 평균 순서를 나타낸다.
• 정점 $ v $ 에서의 국소 평균 $ M_{G,v} $ 는 $ v $ 를 포함하는 연결된 유도 부분그래프를 세는 국소 부분그래프 다항식 $ \Phi_{G,v}(x) $ 에서 유도된다.
• cograph의 성질을 이용한 구조적 분해: cograph는 이산 합집합 $ G_1 \cup G_2 $ 과 조인 $ G_1 + G_2 $ 를 반복적으로 구성함으로써 귀납적 추론이 가능해진다.
• 비음수 계수를 가진 다항식의 합의 로그 미분을 사용하여, 부분그래프 간의 평균 값을 비교하는 데에 볼록 조합 도구로 활용한다.
• $ M^* $-평균은 비자명한 연결된 유도 부분그래프의 평균 순서로 정의되며, 순서가 2 이상인 부분그래프를 분석하는 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 $ n \geq 7 $ 인 연결 cograph 중에서 연결된 유도 부분그래프의 평균 순서를 최대화하는 것은 무엇인가?
• RQ2 순서 $ n \geq 3 $ 인 연결 cograph 중에서 연결된 유도 부분그래프의 평균 순서를 최소화하는 것은 무엇인가?
• RQ3 연결 cograph의 각 정점에서의 국소 평균이 항상 전반 평균보다 크거나 같은가?
• RQ4 연결 cograph의 조밀도 $ M_G / n $ 가 $ n \to \infty $ 일 때 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ5 국소 평균 ≥ 전반 평균 성질은 모든 연결 그래프에 대해 성립하는가, 아니면 cograph와 트리와 같은 제한된 가족에만 성립하는가?

주요 결과

• $ n \geq 7 $ 일 때, 별 $ K_{1,n-1} $ 는 순서 $ n $ 인 모든 연결 cograph 중에서 평균 연결 유도 부분그래프 순서를 최대화한다.
• $ n \geq 3 $ 일 때, $ n $-스키illet $ K_1 + (K_1 \cup K_{n-2}) $ 는 순서 $ n $ 인 모든 연결 cograph 중에서 평균 연결 유도 부분그래프 순서를 최소화한다.
• 모든 연결 cograph에 대해 조밀도 $ M_G / n $ 는 $ \frac{1}{2} < \frac{M_G}{n} \leq \frac{n+1}{2n} $ 를 만족하며, $ n \to \infty $ 일 때 $ \frac{1}{2} $ 에 수렴한다.
• 모든 연결 cograph에서 각 정점의 국소 평균은 항상 전반 평균보다 크거나 같으며, 이 성질은 모든 연결 그래프에서는 성립하지 않는다.
• 임의의 정점 $ v $ 에서의 국소 평균은 항상 전반 평균보다 크거나 같으며, 이 부등식은 $ n = 1 $ 이 아닌 한 엄밀히 성립한다.
• 모든 연결 그래프 중에서 평균 연결 유도 부분그래프 순서를 최대화하는 극값 그래프는 $ n \leq 9 $ 일 때 트리가 아니며, 대신 $ \Theta_{i,j,k} $-그래프나 $ P_3 \square P_3 $ 와 같은 카르테시안 곱과 같은 2-연결 그래프이다.