[논문 리뷰] On the Moduli Space of Asymptotically Flat Manifolds with Boundary and the Constraint Equations

Sven Hirsch, Martin Lesourd|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경계 조건이 영인 곡률과 평균 볼록 경계인 점점 평탄한 3차원 다면체의 모듈리 공간의 경로 연결성을 증명한다. 이는 Cerf의 정리의 실패를 피하기 위해 구조적 접근을 사용하며, Carlotto-Li의 정리와 등각 변형 기법을 활용하여, $\mathbb{R}^3 \setminus B^3$ 위의 모든 이러한 메트릭이 $R=0$ 및 $H=0$ 조건을 유지하면서 서로 연속적으로 변형될 수 있음을 증명한다. 이 결과는 일반 상대성 이론의 최대 초기 자료 집합으로 확장된다.

ABSTRACT

Let $X$ be a closed $3$-manifold, $\mathcal{M}_{R>0}$ the space of metrics on $X$ with positive scalar curvature, and $ ext{Diff}(X)$ the group of diffeomorphisms of $X$. Marques proves the fundamental result that $\mathcal{M}_{R>0}/ ext{Diff}(X)$ is path connected. Using this and the theorem of Cerf in differential topology, Marques shows that the space of asymptotically flat metrics with nonnegative scalar curvature on $\mathbb{R}^3$ is path connected. Based on Carlotto-Li's generalization of Marques' result to the case of compact manifold with boundary, we show that the space of asymptotically flat metrics with nonnegative scalar curvature and mean convex boundary on $\mathbb{R}^3\backslash B^3$ is path connected. The differential topology part of Marques' argument no longer yields the desired result for $\mathbb{R}^3\setminus B^3$, but we bypass this issue by finding a more elementary proof. We also include a path-connectedness result for the space of black hole initial data sets, which can be thought of as a necessary condition for the Final State Conjecture.

연구 동기 및 목표

• 경계 조건이 영인 곡률과 평균 볼록 경계인 점점 평탄한 3차원 다면체의 모듈리 공간의 경로 연결성을 확립한다.
• 폐쇄된 다면체에 대한 Marques의 경로 연결성 결과를 비유한 다면체인 $\mathbb{R}^3 \setminus B^3$로 확장한다.
• 경계가 존재할 경우 Cerf의 정리가 실패하므로, $\mathrm{Diff}_\partial(A^3)$ 의 의존 없이 미분형 불변 경로를 구성함으로써 이를 극복한다.
• 결과를 일반 상대성 이론의 제약 방정식에 적용하여, 경계가 마진널리 외부 트랩프드인 최대, 진공 초기 자료 집합의 경로 연결성을 증명한다.

제안 방법

• 경계가 있는 컴팩트 3차원 다면체에 대해 $\mathcal{M}_{R>0,H>0}/\mathrm{Diff}(X)$ 의 경로 연결성에 관한 Carlotto-Li의 결과를 활용하여 $S^3 \setminus B^3$ 위에 모델을 구축한다.
• 레마 4.2를 적용하여 임의의 점점 평탄한 메트릭을 $R=0$, $H=0$ 조건을 유지하면서 표준 형태로 등각 변형한다.
• 정리 1.2와 [4]의 결과를 활용하여 $S^3 \setminus B^3$ 위에 양의 양의 양의 양의 메트릭 경로를 구성함으로써 이중 공간에서의 경로 연결성을 확보한다.
• 레마 4.5를 사용하여 $S^3 \setminus B^3$ 에서의 경로를 $\mathbb{R}^3 \setminus B^3$ 로 올리는 명시적 미분형을 구성함으로써, 점점 평탄함과 곡률 조건을 유지한다.
• 경계 조건이 있는 Lichnerowicz 방정식을 사용하여 초기 자료 집합을 $R = |\sigma|_g^2$ 와 $H + \sigma(\nu,\nu) \leq 0$ 를 만족하도록 등각 변형한다.
• 하한 및 상한 해 방법을 사용하여 $u \to 1$ 이 되는 무한대에서의 $u$ 에 대해 $0 < u \leq 1$ 인 $u$ 에 대해 Lichnerowicz 방정식을 풀어 등각 계수의 존재성과 유일성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점점 평탄한 3차원 다면체 $\mathbb{R}^3 \setminus B^3$ 에서 $R=0$ 과 $H=0$ 조건을 만족하는 모듈리 공간이 경로 연결성을 갖는가?
• RQ2 경계가 존재할 경우 $\mathrm{Diff}_\partial(A^3)$ 가 경로 연결성을 갖지 않아, Marques의 증명 전략을 다면체가 있는 경우에 직접 적용할 수 있는가?
• RQ3 Cerf의 정리에 의존하지 않고, 구조적이고 미분형 불변 경로를 두 메트릭 사이에 구성할 수 있는가?
• RQ4 최대, 진공 초기 자료 집합이 마진널리 외부 트랩프드 경계를 갖는 경우, $W^{k,p}_\rho$ 위상에서 경로 연결성이 있는가?
• RQ5 등각 변형 기법을 사용하여 연속적인 진화 동안 $R=0$, $H=0$, 그리고 제약 방정식을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathbb{R}^3 \setminus B^3$ 위의 점점 평탄한 메트릭 공간 $\mathcal{M}_{R=0,H=0}^{k,p,\rho}$ 는 $W^{k,p}_\rho$ 위상에서 경로 연결되어 있다.
• 정리 1.3에서 구성된 경로는 $R=0$, $H=0$ 조건을 만족하는 임의의 점점 평탄한 메트릭을 리만-스카워츠 메트릭 $g_S$ 로 연속적으로 변형한다.
• $\mathcal{M}_{R\geq 0,H\geq 0}^{k,p,\rho}$ 도 경로 연결되어 있으며, 이는 비음성 곡률과 평균 곡률로의 결과 확장을 포함한다.
• $\mathcal{M}_{BH}$ 는 마진널리 외부 트랩프드 경계를 갖는 최대, 진공 초기 자료 집합이며, $W^{k,p}_\rho \oplus W^{k-1,p}_{\rho-1}$ 위상에서 경로 연결되어 있다.
• 경계 조건이 있는 Lichnerowicz 방정식은 $0 < u \leq 1$ 인 $u \in 1 + W^{k,p}_\rho$ 에서의 유일한 해를 가지며, 곡률과 경계 조건을 유지하는 등각 계수의 존재를 보장한다.
• 증명은 $\mathrm{Diff}_\partial(A^3)$ 의 호모토피 유형 의존을 피하기 위해 등각 변형과 올림을 통한 명시적 경로를 구성함으로써, 비경로 연결성을 갖는 문제를 회피한다.