[논문 리뷰] On the multisymplectic origin of the non-Abelian deformation algebra of pseudoholomorphic embeddings into strictly almost K\"{a}hler ambient manifolds, and the corresponding BRST algebra

S. P. Hrabak|arXiv (Cornell University)|1999. 04. 27.

Nonlinear Waves and Solitons인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 엄격한 거의 카플레르 다양체로의 가짜홀로모르픽 임bedding에 대한 비아벨 변형 대수의 다중심플렉틱 기원을 확립하며, 환경 미분형식 대칭으로부터 유도된 공변 노이터 전류들이 환경 다양체의 카르탕 기하학적 함수들에 의해 지배되는 비아벨 대수를 이룬다는 것을 보여준다. BRST 형식은 일반적인 임bedding과 가짜홀로모르픽 부분다양체 모두에 대해 명시적으로 구성되며, 위튼의 초대칭 멀티플릿과 이중성이 그라디에이션된 위상공간 기하학으로부터 자연스럽게 유도됨을 드러낸다.

ABSTRACT

We describe the multisymplectic analysis of the constraints of first-order embedded submanifolds inherited from diffeomorphisms of the ambient manifold. The ambient diffeomorphism deformations of first-order embedded submanifolds are examined. We find that the covariant Noether currents, corresponding to the inherited ambient diffeomorphism symmetry, satisfy a non-Abelian deformation algebra, the structure functions being the Cartan structure functions on the ambient manifold. We define the covariant kinematical phase space of pseudoholomorphic embeddings (the symplectic 2-submanifolds of a symplectic manifold) explicitly as a subbundle of the covariant kinematical phase space of embeddings. The induced algebra of Noether currents satisfies the same algebra as before, the symmetry thus being preserved on this subclass of embeddings. The graded multisymplectic manifolds of the covariant Hamiltonian BRST formalism, developed by the author, are explicitly constructed for the symmetry of embeddings and pseudoholomorphic embedding.The ``(supersymmetry) multiplet and its dualities'' postulated by Witten arise naturally as the local fibre coordinates on the graded phase space. The BRST algebra for the pseudoholomorphic class is computed. The structure functions implicit in Witten's treatment of the topological sigma model arise as the Cartan structure functions in a Darboux basis on the ambient symplectic manifold.

연구 동기 및 목표

• 엄격한 거의 카플레르 다양체 내의 일阶 임bedded 부분다양체에 대한 비아벨 변형 대수의 다중심플렉틱 기원을 유도하는 것.
• 가짜홀로모르픽 임bedding의 공변 운동학적 위상공간을 일반 임bedding 위상공간의 부분다발로 정의하는 것.
• 임bedding 및 가짜홀로모르픽 임bedding의 맥락에서 공변 해밀토니안 BRST 형식을 위한 그라디에이션된 다중심플렉틱 다양체를 구성하는 것.
• 위튼의 초대칭 멀티플릿과 이중성이 그라디에이션된 위상공간의 국소 섬유좌표로부터 자연스럽게 유도됨을 보여주는 것.
• 가짜홀로모르픽 임bedding의 BRST 대수를 계산하고, 그 구조 함수들을 다르부 기저에서의 카르탕 기하학적 함수들과 일치시키는 것.

제안 방법

• 다중심플렉틱 기하학을 적용하여 환경 미분형식 대칭으로부터 유도된 제약 조건을 분석하는 것.
• 환경 미분형식 대칭과 관련된 공변 노이터 전류를 식별하고, 그 대수적 구조를 유도하는 것.
• 일반 임bedding 위상공간의 부분다발로서 가짜홀로모르픽 임bed딩의 공변 운동학적 위상공간을 구성하는 것.
• 임bedding의 대칭 구조를 이용하여 BRST 형식을 위한 명시적 그라디에이션 다중심플렉틱 다양체를 구축하는 것.
• 환경 심플렉틱 다양체에서의 다르부 기저를 사용하여 변형 대수의 구조 함수를 표현하는 것.
• 가짜홀로모르픽 임bed딩의 BRST 대수를 유도하고, 그 구조를 카르탕 기하학적 함수와 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 환경의 미분형식 대칭으로부터 기인한 노이터 전류들이 임bedded 부분다양체의 맥락에서 비아贝尔 대수를 어떻게 형성하는가?
• RQ2 가짜홀로모르픽 임bed딩의 변형 대수의 정확한 다중심플렉틱 기원은 무엇인가?
• RQ3 BRST 형식은 가짜홀로모르픽 임bed딩의 공변 위상공간에 어떻게 실현되는가?
• RQ4 위튼의 초대칭 멀티플릿과 이중성은 위상공간의 기하학적 구조로부터 어떤 방식으로 유도되는가?
• RQ5 카르탕 기하학적 함수는 가짜홀로모르픽 임bed딩의 BRST 대수에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 가짜홀로모르픽 임bed딩의 변형 대수는 환경의 미분형식 대칭으로부터 기인한 비아벨 구조를 가지며, 그 구조 함수들은 환경 다양체의 카르탕 기하학적 함수들로 주어진다.
• 가짜홀로모르픽 임bed딩의 공변 운동학적 위상공간은 일반 임bed딩 위상공간의 부분다발로 명시적으로 실현된다.
• 가짜홀로모르픽 임bed딩의 BRST 대수는 계산되었으며, 일반 임bed딩의 경우와 동일한 카르탕 기하학적 함수들에 의해 지배됨을 보여준다.
• 위튼의 초대칭 멀티플릿과 이중성은 BRST 형식의 그라디에이션된 위상공간의 국소 섬유좌표로부터 자연스럽게 유도된다.
• 위튼의 토폴로지컬 시그마 모델 접근에서의 구조 함수들은 환경 심플렉틱 다양체에서의 다르부 기저에서의 카르탕 기하학적 함수들로 식별된다.
• 이 구성은 BRST 형식, 다중심플렉틱 기하학, 그리고 가짜홀로모르픽 부분다양체의 대수적 구조 사이에 직접적인 기하학적 연결을 확립한다.