[논문 리뷰] On the (non)existence of symplectic resolutions for imprimitive symplectic reflection groups

Gwyn Bellamy, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $G$가 심플렉틱적으로 불가약하고 비가역적인 심플렉틱 반사군일 때, $ℂ^{2n}/G$의 심플렉틱 해석을 분류하며, 이러한 해석이 존재하는 것은 $G \cong K \wr S_n$이거나 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 또는 예외적 군 $Q_8 \times_{\mathbb{Z}/2} D_8$일 경우에 국한되며, 차원 10 이하에서 네 가지 해결되지 않은 케이스를 제외하고는 모든 경우를 완료한다. 이 결과는 프로젝티브 심플렉틱 해석을 갖는 심플렉틱적으로 불가약한 심플렉틱 몫 특이점의 분류를 완성하며, 네 가지 열린 케이스를 제외한다.

ABSTRACT

We study the existence of symplectic resolutions of quotient singularities V/G where V is a symplectic vector space and G acts symplectically. Namely, we classify the symplectically irreducible and imprimitive groups, excluding those of the form $K times S_2$ where $K &lt; \SL_2(\C)$, for which the corresponding quotient singularity admits a projective symplectic resolution. As a consequence, for $\dim V eq 4$, we classify all quotient singularities $V/G$ admitting a projective symplectic resolution which do not decompose as a product of smaller-dimensional quotient singularities, except for at most four explicit singularities, that occur in dimensions at most 10, for whom the question of existence remains open.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱적으로 불가약하고 비가역적인 심플렉틱 반사군 $G < \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$ 중에서 $\mathbb{C}^{2n}/G$가 프로젝티브 심플렉틱 해석을 갖는 경우를 전부 분류하는 것.
• 차원 $\neq 4$인 경우에 대해 심플렉틱 해석의 존재 문제를 해결하며, 네 가지 예외적 케이스를 제외한다.
• 기존의 무한한 가족과 두 예외적 케이스를 초월하여 심플렉틱 몫 특이점에 대해 심플렉틱 해석을 갖는 경우를 분류하는 것.
• 아직 미해결된 해석 존재 여부가 불확실한 나머지 열린 케이스를 식별하고 분리하는 것.

제안 방법

• 문헌 [7]에서 제시된 심플렉틱적으로 비가역적이고 불가약한 심플렉틱 반사군의 분류를 활용하며, 이들은 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$인 경우의 $K \wr S_n$의 부분군이다.
• 만약 $\mathbb{C}^{2n}/G$가 프로젝티브 심플렉틱 해석을 갖는다면, 심플렉틱 반사 $g \in G$에 대해 $\mathrm{im}(g - \mathrm{id})$의 일반적인 벡터에 대한 안정자 $H$에 대해 $\mathbb{C}^{2n-2}/H$도 프로젝티브 심플렉틱 해석을 가져야 한다는 기준을 [13, 정리 1.6]에 따라 적용한다.
• 문헌 [7, 표 III]에 나열된 예외적 군들에서 심플렉틱 반사의 안정자 부분군 $H$를 분석하여 문제를 낮은 차원의 경우로 환원한다.
• 차원 4에서 심플렉틱 해석이 존재하지 않는 것으로 알려진 결과—특히 $H = G(\mathsf{C}_4, \mathsf{C}_2, 1)$ 또는 $H = G_3(\mathsf{D}_2, \mathsf{C}_2)$일 경우 $\mathbb{C}^4/H$는 해석이 존재하지 않음—을 이용해 전체 군의 가닥을 제거한다.
• 안정자 부분군 $H$가 해석을 갖지 않는다면 원래 군 $G$도 해석을 가질 수 없음을 이용하여 검토해야 할 케이스의 수를 줄인다.
• 복소 반사군과 그 안정자 부분군의 분류를 활용하여, [2]와 [3]에서 알려진 결과를 바탕으로 유형 $Q$, $S_3$, $T$에 대해 해석이 존재하지 않음을 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱적으로 비가역적이고 불가약한 심플렉틱 반사군 $G < \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$에 대해, $\mathbb{C}^{2n}/G$가 프로젝티브 심플렉틱 해석을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 차원 6, 8, 8, 10에 해당하는 네 가지 남은 예외적 군—유형 $R$, $S_1$, $S_2$, $U$—은 프로젝티브 심플렉틱 해석을 갖는가?
• RQ3 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$에 대해 차원 4에서 $K \rtimes S_2$인 군 $G$는 주요 정리에서 제외되었지만, 프로젝티브 심플렉틱 해석을 갖는가?
• RQ4 심플렉틱적으로 가역적이지만 복소 반사군으로서 비가역적인 군들에 대해 $\mathrm{Sp}_4(\mathbb{C})$ 내에서 $\mathbb{C}^4/G$는 심플렉틱 해석을 갖는가?
• RQ5 문헌 [7, 표 III]에 나열된 유한한 수의 원시적 예외적 심플렉틱 반사군은 심플렉틱 해석을 갖는가?

주요 결과

• $\mathbb{C}^{2n}/G$가 프로젝티브 심플렉틱 해석을 갖는 유일한 심플렉틱적으로 비가역적이고 불가약한 심플렉틱 반사군 $G < \mathrm{Sp}_{2n}(\mathbb{C})$는 $G \cong K \wr S_n$이면서 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$인 경우 또는 $G \cong Q_8 \times_{\mathbb{Z}/2} D_8$인 경우이며, 제시된 배제 조건을 만족할 때에 한해 성립한다.
• $\dim V \neq 4$인 경우, 프로젝티브 심플렉틱 해석을 갖는 심플렉틱적으로 불가약한 몫 특이점 $V/G$는 유한부분군 $K < \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$에 대해 $\mathbb{C}^{2n}/(K \wr S_n)$과 동형이며, 차원 10 이하에서 네 가지 해결되지 않은 케이스를 제외하고는 모든 경우가 포함된다.
• 해결되지 않은 네 가지 케이스는 각각 차원 6, 8, 8, 10에 해당하는 유형 $R$, $S_1$, $S_2$, $U$이며, 기존의 가족 외에서 심플렉틱 해석이 존재할 수 있는 유일한 후보이다.
• 안정자 부분군 분석을 통해 유형 $Q$, $S_3$, $T$에 대해서는 심플렉틱 해석이 존재하지 않음을 배제할 수 있으며, 이는 안정자 부분군이 차원 4에서 알려진 해석이 존재하지 않는 특이점으로 이어지기 때문이다.
• $\mathbb{C}^4/G$에 대해 $G = K \rtimes S_2$일 경우 심플렉틱 해석의 존재 여부는 아직 미결정이며, 핵심적인 미해결 케이스이다.
• 논문은 [7, 표 III]에 나열된 군들 중 최대 10개의 군만 검토하면 되도록 분류를 단순화하였으며, 나머지는 안정자 분석을 통해 배제된다.