[논문 리뷰] On the notion of flat 2-functors

María Emilia Descotte, Eduardo J. Dubuc외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 2-category 이론에서 릿지한(limit)과 편의한(limit) 사이를 조율하는 데 사용되는 통합 프레임워크로 $σ$-한계와 $σ$-이중한계를 도입한다. 임의의 가중 $σ$-한계가 유향한계로 표현될 수 있음을 증명함으로써, 표현 가능한 2-함수의 $σ$-필터링된 $σ$-이중한계로 평탄한 편의함수를 특성화한다—이것은 고전적인 이중끝 공식의 2-범주적 대응이며, 2-토이의 이론을 발전시킨다.

ABSTRACT

In this paper we introduce sigma limits (which we write $\sigma$-limits), a concept that interpolates between lax and pseudolimits: for a fixed family $\Sigma$ of arrows of a 2-category $\mathcal{A}$, a $\sigma$-cone for a $2$-functor $\mathcal{A} \stackrel{F}{ ightarrow} \mathcal{B}$ is a lax cone such that the structural 2-cells corresponding to the arrows of $\Sigma$ are invertible. The conical $\sigma$-limit of $F$ is the universal $\sigma$-cone. Similary we define $\sigma$-natural transformations and weighted $\sigma$-limits. We consider also the case of bilimits. We develop the theory of $\sigma$-limits and $\sigma$-bilimits, whose importance relies on the following key fact: any weighted $\sigma$-limit (or $\sigma$-bilimit) can be expressed as a conical one. From this we obtain, in particular, a canonical expression of an arbitrary $\mathcal{C}at$-valued 2-functor as a conical $\sigma$-bicolimit of representable 2-functors, for a suitable choice of $\Sigma$, which is equivalent to the well known bicoend formula. As an application, we establish the 2-dimensional theory of flat pseudofunctors. We define a $\mathcal{C}at$-valued pseudofunctor to be flat when its left bi-Kan extension along the Yoneda 2-functor preserves finite weighted bilimits. We introduce a notion of 2-filteredness of a 2-category with respect to a class $\Sigma$, which we call $\sigma$-filtered. Our main result is: A pseudofunctor $\mathcal{A} ightarrow \mathcal{C}at$ is flat if and only if it is a $\sigma$-filtered $\sigma$-bicolimit of representable 2-functors. In particular the reader will notice the relevance of this result for the development of a theory of 2-topoi.

연구 동기 및 목표

• 2-범주에서 릿지한계와 편의한계 사이를 조율하는 통합 프레임워크를 개발하는 것.
• 고정된 화살표의 집합 $Σ$를 사용하여, 구조적 2-세포가 가역인 경우에 $σ$-한계와 $σ$-이중한계를 정의하는 것.
• 가중 $σ$-한계와 $σ$-이중한계가 유향한계로 감소함을 보여주어 그 연구를 단순화하는 것.
• 표현 가능한 2-함수의 $σ$-필터링된 $σ$-이중한계로 평탄한 편의함수를 특성화하는 것.
• 새로운 2-필터링성($σ$-필터링성)을 통해 2-토이 이론의 2-범주적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 구조적 2-세포가 $Σ$에 속한 화살표에 대해 가역인 릿지한계의 일종인 $σ$-콘을 도입하는 것.
• 이 맥락에서의 보편적 대상으로 유향한계 $σ$-한계와 $σ$-자연변환을 정의하는 것.
• 가중 $σ$-한계와 $σ$-이중한계의 이론을 발전시켜, 이들이 유향한계 $σ$-한계로 감소함을 보이는 것.
• $Σ$에 의해 매개화된 2-범주적 일반화로서 $σ$-필터링성을 정의하는 것.
• 가중한계가 유향한계 $σ$-한계로 감소함을 이용하여, 임의의 $Γ$-값을 가진 2-함수를 표현 가능한 2-함수의 유향한계 $σ$-이중한계로 표현하는 것.
• 이를 바탕으로, 양의 이중칸 확장을 따라야 하는 가중 이중한계의 보존성을 통해 평탄한 편의함수를 정의하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 특정한 화살표의 집합을 매개변수로 사용하여 2-범주 이론에서 릿지한계와 편의한계를 통합할 수 있는가?
• RQ2 가중 $σ$-한계는 유향한계로 감소할 수 있는가? 그리고 표현 가능성에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ3 평탄한 편의함수를 특성화하는 데 적합한 2-범주적 필터링성의 올바른 2-범주적 대응은 무엇인가?
• RQ4 $Γ$-값을 가진 2-함수의 $σ$-이중한계 분해는 고전적인 이중끝 공식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $σ$-필터링성은 2-토이 이론에서 평탄성의 특성화에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 가중 $σ$-한계 또는 $σ$-이중한계는 유향한계 $σ$-한계와 동형이 되며, 이는 분석과 구성의 단순화를 가져온다.
• 모든 $Γ$-값을 가진 2-함수는 적절한 $Σ$에 대해 표현 가능한 2-함수의 유향한계 $σ$-이중한계로 자연스럽게 표현 가능하며, 이는 이중끝 공식을 복원한다.
• 2-함수 $\mathcal{A} \to \mathcal{C}at$가 평탄한 것은 그것이 표현 가능한 2-함수의 $σ$-필터링된 $σ$-이중한계임과 동치이다.
• $σ$-필터링성의 개념은 2-범주에서 평탄성의 본질적 성질을 포착하는 방식으로 필터링성을 일반화한다.
• 이 이론은 2-토이 이론의 고전적 결과를 정렬하고 확장하는, 새로운 내재적 특성화를 제공한다.