[논문 리뷰] On the order modulo p of an algebraic number (for p large enough)

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 갈로아 확장에서 Frobenius 자기동형사상의 활용을 통해 소수 이상수와 소수 이상수 이상의 모듈로에서 대수적 수의 곱셈적 순서를 조사한다. 큰 소수 $ p $에 대해, Borel–Cantelli 히ュ리스틱을 바탕으로 $ g_p(n_p - 1) \geq 2 $를 만족하는 모든 $ p \to \infty $ 에 대해 $ o_p(\theta) > p $ 가 성립함을 증명하며, 이는 삼차 및 사차 수체를 포함하지만 이차 수체는 포함하지 않는다.

ABSTRACT

Let K/Q be Galois, and let eta in K* whose conjugates are multiplicatively independent. For a prime p, unramified, prime to eta, let np be the residue degree of p and gp the number of P I p, then let o\_P(eta) and o\_p(eta) be the orders of eta modulo P and p, respectively.Using Frobenius automorphisms, we show that for all p extgreater{} extgreater{}0, some explicit divisors of p^(np)-1 cannot realize o\_P(eta) nor o\_p(eta), and we give a lower bound of o\_p(eta).Then we obtain that, for all p extgreater{} extgreater{}0 such that np extgreater{}1, Prob(o\_p(eta) extless{}p) $\le$ 1/p^(gp.(np-1)-epsilon)), where epsilon = O(1/(log\_2(p))); under the Borel--Cantelli heuristic, this leads to o\_p(eta) extgreater{}p for all p extgreater{} extgreater{}0 such that gp.(np-1) $\ge$ 2, which covers the "limit" cases of cubic fields with np=3 and quartic fields with np=gp=2, but not the case of quadratic fields with np=2. In the quadratic case, the natural conjecture is, on the contrary, that o\_p(eta) extless{} p for infinitely many inert p. Some computations are given with PARI programs.

연구 동기 및 목표

• 갈로아 확장에서 유리 소수 $ p $ 모듈로에서 대수적 수 $ \eta $ 의 곱셈적 순서 $ o_p(\eta) $ 의 渐近적 행동을 결정하는 것.
• Frobenius 자기동형사상을 활용하여, 큰 $ p $ 에 대해 $ o_{\mathfrak{p}}(\eta) $ 나 $ o_p(\eta) $ 를 실현할 수 없는 $ p^{n_p} - 1 $ 의 명시적 약수를 특정하는 것.
• 특히 잔여도 수 $ n_p > 1 $ 과 분해군의 구조를 고려하여 $ o_p(\eta) $ 에 대한 비자명한 하한을 설정하는 것.
• 확률 $ \mathrm{Prob}(o_p(\eta) < p) $ 를 분석하고, $ p \to \infty $ 일 때의 감쇠 속도 $ \leq 1/p^{g_p(n_p - 1) - \varepsilon} $ 를 유도하며, 여기서 $ \varepsilon = O(1/\log_2 p) $ 이다.
• 이차 수체에서의 행동과는 대조적으로, $ o_p(\eta) < p $ 가 무한히 자주 발생할 것으로 추측되는 불분해 소수에 대해, 고차 수체에서는 $ o_p(\eta) > p $ 가 예상됨을 대조하는 것

제안 방법

• 갈로아 확장 $ K/\mathbb{Q} $ 에서 Frobenius 자기동형사상을 사용하여, $ \eta \in K^\times $ 가 소수 이상수 $ \mathfrak{p} \mid p $ 에 작용하는 방식을 분석하며, 분해군의 순환적 구조를 활용한다.
• Chebotarev 밀도 정리를 적용하여 소수 $ p $ 를 그 잔여도 수 $ n_p $ 로 분류함으로써, 동일한 $ n_p $ 를 가진 $ \mathfrak{p} \mid p $ 간의 분석에서 균일성을 확보한다.
• 순환다항식 $ \Phi_\delta(p) $ 의 구조를 통해 $ p^{n_p} - 1 $ 의 명시적 금지 약수를 유도하며, 이는 집합 $ D_{h,\delta}(p) = (p^h - 1)/\Phi_\delta(p) $ 로 이어진다.
• 확률론적 수론과 Borel–Cantelli 히ュ리스틱을 활용하여 $ o_p(\eta) < p $ 를 만족하는 소수 $ p $ 의 밀도를 추정하며, 결과적으로 $ \mathrm{Prob}(o_p(\eta) < p) \leq 1/p^{g_p(n_p - 1) - \varepsilon} $ 를 도출한다.
• PARI/GP 프로그램을 사용하여 $ \mathcal{D}_p $ 의 약수 $ D $ 에 대해 $ \phi(D) $ 와 $ \sum \phi(D) $ 를 계산함으로써, 밀도와 성장 행동의 수치적 검증을 가능하게 한다.
• 밀도 $ \mathrm{Density} = \frac{1}{p^2 - 1} \sum_{D \in \mathcal{D}_p} \phi(D) $ 와 함께 양 $ C = \mathrm{Density} \cdot p / \log p $ 의 성장을 분석하여 局소 최대값을 탐지하고, 밀도에 대한 상한을 추론한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 소수 $ p $ 에 대해 갈로아 확장 $ K/\mathbb{Q} $ 에서 대수적 수 $ \eta $ 의 순서 $ o_p(\eta) $ 가 항상 $ p $ 를 초과함을 보장하는 조건은 무엇이며, $ n_p $ 와 $ g_p $ 에 어떤 조건이 필요하는가?
• RQ2 큰 $ p $ 에 대해 $ p^{n_p} - 1 $ 의 어떤 약수가 $ o_{\mathfrak{p}}(\eta) $ 나 $ o_p(\eta) $ 를 실현할 수 없으며, Frobenius 작용과 순환다항식을 통해 이를 어떻게 명시적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 확률 $ o_p(\eta) < p $ 의 渐近적 확률은 무엇이며, $ p \to \infty $ 일 때 이 확률은 어떻게 감쇠하는가? 특히 $ g_p(n_p - 1) \geq 2 $ 일 경우에 대해 설명하라.
• RQ4 왜 이차 수체에서는 $ o_p(\eta) < p $ 가 무한히 많은 불분해 소수에서 성립할 것으로 추측되는 데 반해, 고차 수체에서는 $ o_p(\eta) > p $ 가 예상되는가?
• RQ5 큰 $ p $ 에 대해 $ C = \mathrm{Density} \cdot p / \log p $ 의 값은 어떻게 행동하는가? 그리고 이 값들이 소수 순서 실현의 밀도에 대한 상한을 더욱 정교화하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 충분히 큰 소수 $ p $ 에 대해 $ n_p > 1 $ 이면, $ o_p(\eta) < p $ 가 성립할 확률은 $ 1/p^{g_p(n_p - 1) - \varepsilon} $ 이하로 유계이며, 여기서 $ \varepsilon = O(1/\log_2 p) $ 이므로 급격한 감쇠를 보인다.
• Borel–Cantelli 히ュ리스틱에 기반해, $ g_p(n_p - 1) \geq 2 $ 를 만족하는 모든 큰 $ p $ 에 대해 $ o_p(\eta) > p $ 가 성립한다. 이는 $ n_p = 3 $ 인 삼차 수체와 $ n_p = g_p = 2 $ 인 사차 수체를 포함한다.
• 이 결과는 이차 수체의 경우, 즉 $ n_p = 2 $ 일 때는 포함되지 않으며, 자연스러운 추측은 불분해 소수 $ p $ 에 대해 $ o_p(\eta) < p $ 가 무한히 많이 성립할 것이라는 것이다.
• 큰 $ p $ 에 대해 $ \delta \mid h $ 이면 $ D_{h,\delta}(p) = (p^h - 1)/\Phi_\delta(p) $ 는 $ o_{\mathfrak{p}}(\eta) $ 나 $ o_p(\eta) $ 를 실현할 수 없으며, Frobenius 작용의 제약으로 인해 그렇다.
• PARI/GP 를 통한 수치 계산 결과, $ p^2 - 1 $ 이 매우 복합한 수(프리블)인 $ p $ 에서는 양 $ C = \mathrm{Density} \cdot p / \log p $ 가 상당히 증가할 수 있으며, $ p = 1758415231 $ 에서는 $ C \approx 81.5 $ 로 나타난다.
• 밀도 $ \mathrm{Density} = \frac{1}{p^2 - 1} \sum_{D \in \mathcal{D}_p} \phi(D) $ 는 높은 산란을 보이며, 값은 $ 10^{-59} $ 에서 $ 10^{-35} $ 사이로 변동한다. 또한 $ \Delta = (p+1)\mathrm{Density} - 1/3 $ 는 크게 될 수 있어 균일 분포에서의 이탈을 나타낸다.