[논문 리뷰] On the polar Orlicz-Minkowski problems and the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies

Xiaokang Luo, Deping Ye외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 21.

Point processes and geometric inequalities인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 오르리츠 함수계수와 $p$-용적 제약 조건을 포함하는 최적화 문제에 대해 해의 존재성과 유일성을 확립하는 편극 오르리츠-민코프스키 문제를 제안한다. 변분 방법과 구 위에서의 측도 이론적 분석을 통해 고전적 민코프스키 이론을 오르리츠 설정으로 확장하여 $p$-용적성 오르리츠-페티 몸체의 존재성과 연속성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose and study the polar Orlicz-Minkowski problems: under what conditions on a nonzero finite measure $μ$ and a continuous function $φ:(0,\infty) ightarrow(0,\infty)$, there exists a convex body $K\in\mathcal{K}_0$ such that $K$ is an optimizer of the following optimization problems: \begin{equation*} \inf/\sup \bigg\{\int_{S^{n-1}}φ\big( h_L \big) \,d μ: L \in \mathcal{K}_{0} \ ext{and}\ |L^\circ|=ω_{n}\bigg\}. \end{equation*} The solvability of the polar Orlicz-Minkowski problems is discussed under different conditions. In particular, under certain conditions on $φ,$ the existence of a solution is proved for a nonzero finite measure $μ$ on $S^{n-1}$ which is not concentrated on any hemisphere of $S^{n-1}.$ Another part of this paper deals with the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies. In particular, the existence of the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies is established and the continuity of the $p$-capacitary Orlicz-Petty bodies is proved.

연구 동기 및 목표

• 고체체가 오르리츠 유형 함수계수를 최적화하는 데 있어 $p$-용적 또는 부피 제약 조건을 만족하는 볼록체를 찾는 편극 오르리츠-민코프스키 문제를 수립하고 해결한다.
• 오르리츠 노름과 표면 측도를 포함하는 새로운 변분 함수계수를 도입하여 $L_q$ 브룬-민코프스키 이론을 오르리츠 설정으로 확장한다.
• 고전적 $L_q$ 페티 몸체의 자연스러운 일반화인 $p$-용적성 오르리츠-페티 몸체의 존재성과 연속성을 확립한다.
• 오르리츠 함수 $ heta$에 대한 적절한 조건 하에, 어떤 반구면에서도 집중되지 않은 비영이면서 유한한 측도 $ u$에 대해 해가 존재함을 증명한다.
• 변분 원리와 $p$-용적을 사용하여 고전적 민코프스키 유형 부등식과 지오민성 표면적 이론을 오르리츠 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 고체체 $K otin ilde{ ho}$에 대해 극체 부피 $|K^ullet| = \rho_n$를 고정하고, 측도 $ u$에 대해 $ heta(h_L)$를 최소화하는 방식으로 편극 오르리츠-민코프스키 문제를 최적화 문제로 수립한다.
• 변분 방법을 적용하여 최적화자에 대한 오일러-라그랑주 형식의 방정식을 유도하며, 표면적 측도 $S(K, \bullet)$와 지지함수 $h_K(u)$를 사용한다.
• 표면 측도 $S(K, \bullet)$와 지지함수 $h_K(u)$를 사용하여 $p$-용적성 오르리츠-페티 몸체 $M$을 함수 $ ilde{\rho}_{p,\theta}(K, L) = \theta\big( \frac{h_L(u)}{h_K(u)} \big) h_K(u) \big)$를 통해 정의하며, $|L^\bullet| = \rho_n$ 조건 하에 $L$에 대해 최소화한다.
• 콤���턴스 추론과 수렴 정리(예: 부분수열 $ ilde{M}_{i_k} \to \tilde{M}$)를 사용하여 극한에서 최적화자의 존재성을 증명한다.
• 하우스도르프 수렴 하에서 측도 수렴과 $p$-용적성 $C_p(L^\bullet)$를 사용하여 $p$-용적성 오르리츠-페티 몸체 사상의 연속성을 확립한다.
• 볼록기하학의 결과, 특히 $L_q$ 민코프스키 부등식과 고전적 민코프스키 문제를 활용하여 오르리츠 설정에서의 유사체를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구 $S^{n-1}$ 위의 유한 측도 $ \nu$와 연속 함수 $\theta:(0,\rho) \to (0,\rho)$에 대해 편극 오르리츠-민코프스키 문제가 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $p$-용적성과 오르리츠 함수계수를 사용하여 $L_q$ 지오민성 표면적과 $L_q$ 페티 몸체를 오르리츠 설정으로 일반화할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ3 주어진 볼록체 $K$에 대해 $p$-용적성 오르리츠-페티 몸체의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 하우스도르프 수렴 하에서 볼록체 $K$에서 그 $p$-용적성 오르리츠-페티 몸체로의 사상이 연속적인가?
• RQ5 변분 공식화를 통해 $p$-용적성과 오르리츠 노름을 포함하는 고전적 민코프스키 문제와 $L_q$ 민코프스키 문제를 오르리츠 설정으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 비영이면서 유한한 측도 $ \nu$가 어떤 반구면에도 집중되지 않은 경우, 오르리츠 함수 $ \theta$가 특정 볼록성 또는 단조성 조건을 만족할 때, $|K^\bullet| = \rho_n$ 조건을 만족하는 편극 오르리츠-민코프스키 문제에 대해 해 $K \notin \tilde{\rho}$ 가 존재한다.
• $p$-용적성 오르리츠-페티 몸체 $M$은 모든 $K \notin \tilde{\rho}$ 에 대해 존재하며, $ \theta$가 볼록일 경우 유일하게 결정된다.
• $K \notin \tilde{\rho}$ 에서 그 $p$-용적성 오르리츠-페티 몸체 $M$으로의 사상 $K \to M$ 은 $K$의 하우스도르프 수렴 하에서 연속적이다.
• 함수 $ \tilde{\rho}_{p,\theta}(K, L)$ 는 $|L^\bullet| = \rho_n$ 조건을 만족하는 $L \notin \tilde{\rho}$ 에서 최소값을 가지며, 최소화자 $M$ 은 $p$-용적성과 오르리츠 노름을 포함하는 변분 특성 조건을 만족한다.
• $p$-용적성 오르리츠-페티 몸체 구성은 고전적 $L_q$ 페티 몸체와 $L_q$ 지오민성 표면적을 일반화하며, $ \theta(t) = t^q$ 일 때 $G_q(K)$ 가 특수한 경우로 복구된다.
• 수열 $K_i \to K$ 의 수렴은 관련된 $p$-용적성 오르리츠-페티 몸체 $M_i \to M$ 의 수렴을 암시하며, 이는 구성의 안정성과 연속성을 증명한다.