[논문 리뷰] On the possible images of the mod ell representations associated to elliptic curves over Q

David Zywina|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 31.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 ℚ 위의 비-CM 타원곡선에 부착된 mod ℓ 갈루아 표현의 가능한 모든 이미지를 분류하며, 표현이 전사가 아닌 예외적 소수 ℓ를 규명한다. 종수 0인 모듈라 곡선과 그 유리점들을 이용하여, 각 ℓ에 대해 이미지 군을 동치류로 계산하는 완전한 알고리즘을 제공한다. 주요 결과로는 ℓ ≡ 2 mod 3 이며 ℓ ≥ 17 인 경우에 해당한다.

ABSTRACT

Consider a non-CM elliptic curve $E$ defined over $\mathbb{Q}$. For each prime $\ell$, there is a representation $ρ_{E,\ell}: G o GL_2(\mathbb{F}_\ell)$ that describes the Galois action on the $\ell$-torsion points of $E$, where $G$ is the absolute Galois group of $\mathbb{Q}$. A famous theorem of Serre says that $ρ_{E,\ell}$ is surjective for all large enough $\ell$. We will describe all known, and conjecturally all, pairs $(E,\ell)$ such that $ρ_{E,\ell}$ is not surjective. Together with another paper, this produces an algorithm that given an elliptic curve $E/\mathbb{Q}$, outputs the set of such exceptional primes $\ell$ and describes all the groups $ρ_{E,\ell}(G)$ up to conjugacy. Much of the paper is dedicated to computing various modular curves of genus $0$ with their morphisms to the $j$-line.

연구 동기 및 목표

• ℚ 위의 비-CM 타원곡선에 대해 mod ℓ 갈루아 표현의 가능한 모든 이미지를 분류하는 것.
• mod ℓ 표현이 전사가 아닌 모든 예외적 소수 ℓ를 결정하는 것.
• 각 타원곡선 E/ℚ에 대해 이미지 군 ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ))을 동치류로 계산하는 완전한 알고리즘을 제공하는 것.
• 종수 0인 모듈라 곡선 X_G와 그 유리점의 구조를 기술하여 가능한 이미지 군의 분류를 가능하게 하는 것.
• j-불변량이 0 또는 1728이 아닐 경우와 j_E ∈ {0, 1728}인 특수한 경우를 고려하여, 휘어진 변환과 타이트 곡선 분석을 사용하는 것.

제안 방법

• 이미지가 이차 변환에 대해 불변이 되도록 G = ±ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ))로 정의한다.
• 행렬식 조건 det(G) = 𝔽_ℓ^×를 이용하여, j-불변량을 j-선으로 보내는 사상 π_G: X_G → ℙ¹_ℚ를 갖는 ℚ 위의 모듈라 곡선 X_G를 연관시킨다.
• det(G) = 𝔽_ℓ^× 이고 −I ∈ G인 GL_2(𝔽_ℓ)의 부분군 G를 모두 특성화하며, 종수 0이면서 ℚ-유리점이 있는 경우에 집중한다.
• 모듈라 함수 h를 차수 ℓ로 표현한 J(h)로 j-불변량을 유리함수로 표현하여 분류 문제를 유리함수 문제로 환원한다.
• 갈루아 특성함수를 이용해, 이미지 군이 G 또는 −I ∉ H인 G의 지수 2 부분군 H일 경우를 구분한다.
• ℓ-진 부값 v_ℓ(j_E) < 0 인 경우 타이트 곡선 이론을 적용하여, PGL_2(𝔽_ℓ) 내의 순서 제약 조건을 통해 일부 이미지 군을 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL_2(𝔽_ℓ)의 어떤 진부분군이 비-CM 타원곡선 E/ℚ에 대해 mod ℓ 갈루아 표현 ρ_{E,ℓ}의 이미지로 나타날 수 있는가?
• RQ2 어느 소수 ℓ에 대해 ρ_{E,ℓ}가 전사가 아니며, 그 경우 가능한 이미지 군은 동치류로 어떻게 되는가?
• RQ3 주어진 타원곡선 E/ℚ에 대해 예외적 소수 ℓ의 집합을 알고리즘적으로 어떻게 결정할 수 있는가?
• RQ4 종수 0인 모듈라 곡선과 그 유리점은 가능한 이미지 군의 분류에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 왜 ℓ ≡ 2 mod 3 이고 ℓ ≥ 17 일 때 이미지 군이 N_{ns}(ℓ) 또는 C_{ns}(ℓ)의 부분군으로 제한되는가?

주요 결과

• ℓ ≡ 2 mod 3 이고 ℓ ≥ 17 일 때, ρ_{E,ℓ}의 이미지가 N_{ns}(ℓ)에 포함될 수 없다. 이는 ℓ−1 이 2(ℓ+1)를 나누지 않기 때문이다.
• v_ℓ(j_E) ≥ 0 이면, 이미지 군 ±ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ))은 G 또는 N_{ns}(ℓ)와 동치이며, 이미지가 스스로의 부정을 가지므로 −I 가 이미지에 속한다.
• v_ℓ(j_E) < 0 이면, 타이트 곡선 모델에 의해 PGL_2(𝔽_ℓ) 내의 순환군이 차수 ℓ−1을 가지며, 이는 이미지가 N_{ns}(ℓ)의 이미지에 포함되어 있으면 PGL_2(𝔽_ℓ)에 임베딩될 수 없다.
• ℓ ≥ 17 이면 가능한 이미지 군은 G = N_{ns}(ℓ) 또는 C_{ns}(ℓ)를 포함하는 지수 3 부분군 뿐이며, 조건 ℓ ≡ 2 mod 3 를 만족한다.
• 이미지 군의 분류는 종수 0인 모듈라 곡선 X_G와 그 ℚ-유리점의 계산으로 환원되며, 이들은 ℙ¹_ℚ 와 동형이며 유리함수 J(t)로 매개화된다.
• 알고리즘은 주어진 E/ℚ에 대해 예외적 소수 ℓ의 집합과 각각의 이미지 군 ρ_{E,ℓ}(Gal(ℚ̄/ℚ))을 동치류로 출력하며, j-불변량과 변환 불변성만을 사용한다.