[논문 리뷰] On the principal series representations of semisimple groups with Frobenius maps

Xiaoyu Chen|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 19.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 단순형 대수적 군과 프로베누스 사상이 있는 주요 계열 표현을 조사한다. 유한체 위의 단순형 대수적 군과 프로베누스 사상이 있는 주요 계열 표현을 조사한다. 유도된 모듈에서 스텐버그 모듈과 단순 모듈의 텐서곱으로의 전사 준동형사를 수립하며, 원래의 유도된 모듈이 최대 무게가 정규적이고 반도미넌트일 때 정확히 기약임을 증명한다.

ABSTRACT

Let ${\bf G}$ be a simply connected semisimple algebraic group over $\Bbbk=\bar{\mathbb{F}}_q$, the algebraically closure of $\mathbb{F}_q$ (the finite field with $q=p^e$ elements), and $F$ be the standard Frobenius map. Let ${\bf B}$ be an $F$-stable Borel subgroup and ${\bf T}$ an $F$-stable maximal torus contained in ${\bf B}$. Set $G_{q^r}={\bf G}^{F^r}$ and $B_{q^r}={\bf B}^{F^r}$ for any $r>0$. This paper studies the original induced module $\op{Ind}_{\bf B}^{\bf G}λ=\Bbbk{\bf G}\otimes_{\Bbbk{\bf B}}λ$ (here $\Bbbk{\bf H}$ is the group algebra of the group ${\bf H}$, and $λ$ is a rational character of ${\bf T}$ regarded as a ${\bf B}$-module). We show that if $λ$ is regular and dominant, then there is a surjective ${\bf G}$-module homomorphism $\op{Ind}_{B_{q^r}}^{\bf G}λ ightarrow \op{St}\otimes L(λ)$ for any $r>0$, where $\op{St}$ is the infinite dimensional Steinberg module defined by Nanhua Xi. As a consequence, we show that $\op{Ind}_{\bf B}^{\bf G}λ$ is irreducible if $λ$ if and only if $λ$ is regular and antidominant. Moreover, for ${\bf G}=SL_2(\bar{\mathbb{F}}_q)$ and $0

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 대수적 군과 프로베누스 엔도모르피즘의 맥락에서 주요 계열 표현의 구조를 이해하기 위해.
• 유도된 모듈 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda$ 가 기약이 되는 조건을 규명하기 위해.
• 유한 리 군 유형의 표현 이론에서 무한차원 스텐버그 모듈 $\operatorname{St}$ 의 역할을 탐색하기 위해.
• 유한군 위의 유도된 모듈과 스텐버그 모듈을 포함한 텐서곱 사이의 준동형사를 수립하기 위해.

제안 방법

• 기약체 $\overline{\mathbb{F}}_q$ 위의 단순형 대수적 군 $\mathbf{G}$ 에 대한 프로베누스 사상 $F$ 를 활용한다.
• 최대 토러스 $\mathbf{T}$ 의 유리형 특성 $\lambda$ 에 대해 유도된 모듈 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda = \Bbbk\mathbf{G} \otimes_{\Bbbk\mathbf{B}} \lambda$ 을 연구한다.
• 유한 리 군 유형 $G_{q^r} = \mathbf{G}^{F^r}$ 과 그 보렐 부분군 $B_{q^r} = \mathbf{B}^{F^r}$ 을 분석한다.
• 모든 $r > 0$ 에 대해 전사 $\mathbf{G}$-모듈 준동형사 $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda \twoheadrightarrow \operatorname{St} \otimes L(\lambda)$ 를 구성한다.
• 유리형 특성 이론과 $F$-안정성 이론을 적용하여 유도된 모듈의 구조를 스텐버그 모듈과 연결한다.
• 난후아 시가 정의한 무한차원 스텐버그 모듈 $\operatorname{St}$ 의 정의를 사용하여 텐서곱의 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유도된 모듈 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda$ 가 기약이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유도된 모듈 $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda$ 의 구조는 스텐버그 모듈 $\operatorname{St}$ 와 단순 모듈 $L(\lambda)$ 와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 프로베누스 사상은 유한체 위의 $\mathbf{G}$ 의 표현 이론을 어떻게 제어하는가?
• RQ4 최대 무게 $\lambda$ 의 정규성과 도미넌트 성질은 유도된 모듈의 기약성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 유한군 $G_{q^r}$ 에 대한 유도된 모듈과 텐서곱 $\operatorname{St} \otimes L(\lambda)$ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $r > 0$ 에 대해 $\lambda$ 가 정규적이고 도미넌트일 경우, 전사 $\mathbf{G}$-모듈 준동형사 $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda \twoheadrightarrow \operatorname{St} \otimes L(\lambda)$ 가 존재한다.
• 유도된 모듈 $\operatorname{Ind}_{\mathbf{B}}^{\mathbf{G}}\lambda$ 는 $\lambda$ 가 정규적이고 반도미넌트일 때 정확히 기약이다.
• 구성은 난후아 시가 정의한 무한차원 스텐버그 모듈 $\operatorname{St}$ 에 의존하며, 이는 텐서곱의 구조에서 중심적인 역할을 한다.
• $\mathbf{G} = SL_2(\overline{\mathbb{F}}_q)$ 일 경우 결과는 $0 < \lambda < \rho$ 에 대해 주요 계열의 기약성에 대한 완전한 분류를 제공한다.
• $\operatorname{Ind}_{B_{q^r}}^{\mathbf{G}}\lambda$ 에서 $\operatorname{St} \otimes L(\lambda)$ 로의 준동형사는 프로베누스 변형과 보렐 및 토러스 부분군의 $F$-안정성과 호환된다.
• 결과는 클래식한 웨일 및 스텐버그 모듈 이론을 프로베누스 사상이 있는 주요 계열 표현의 맥락으로 일반화한다.