[논문 리뷰] On the Rate of Convergence to the Marchenko--Pastur Distribution

Friedrich Götze, А. Н. Тихомиров|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 06.

Random Matrices and Applications참고 문헌 16인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 하위지수 꼬리 조건 하에서 표본 공분산 행렬의 경험적 고유값 분포가 Marchenko–Pastur 법칙으로 수렴하는 속도를 확립한다. 재귀적 접근과 대규모 이탈 한계를 사용하여, 고도의 확률로 콜모고로프 거리가 $ O(n^{-1} \beta_n^4) $ 이하로 유계임을 증명한다. 여기서 $ \beta_n = (\log n \cdot (\log \log n)^\alpha)^{1/\varkappa + 1} $ 이며, 이는 더 강한 모멘트 가정 하에서 이전의 $ O(n^{-1/2}) $ 수렴 속도를 향상시킨다.

ABSTRACT

Let $\mathbf X=(X_{jk})$ denote $n imes p$ random matrix with entries $X_{jk}$, which are independent for $1\le j\le n,1\le k\le p$. We consider the rate of convergence of empirical spectral distribution function of the matrix $\mathbf W=\frac1p\mathbf X\mathbf X^*$ to the Marchenko--Pastur law. We assume that $\mathbf E X_{jk}=0$, $\mathbf E X_{jk}^2=1$ and that the distributions of the matrix elements $X_{jk}$ have a uniformly sub exponential decay in the sense that there exists a constant $\varkappa>0$ such that for any $1\le j \le n,\,1\le k\le p $ and any $t\ge 1$ we have $$ \mathbf{ Pr}\{|X_{jk}|>t\}\le \varkappa^{-1}\exp\{-t^{\varkappa}\}. $$ By means of a recursion argument it is shown that the Kolmogorov distance between the empirical spectral distribution of the sample covariance matrix $\mathbf W$ and the Marchenko--Pastur distribution is of order $O(n^{-1}\log^{4+\frac4{\varkappa}} n)$ with high probability.

연구 동기 및 목표

• 하위지수 꼬리 조건 하에서 표본 공분산 행렬의 경험적 고유값 분포 함수의 Marchenko–Pastur 분포로의 수렴 속도를 확립한다.
• 고차원 로그 보정과 꼬리 감쇠 매개변수를 통합하여 기존의 $ O(n^{-1/2}) $ 수렴 속도를 향상시킨다.
• 경험적 분포와 극한 분포 사이의 콜모고로프 거리에 대한 고확률 유계를 도출한다.
• 랜덤 행렬 이론에서의 강건한 추론을 위해 고유벡터의 분산 방지성과 스티엘제스 변환 수렴성으로 분석을 확장한다.

제안 방법

• 표본 공분산 행렬 $ \mathbf{W} = \frac{1}{p}\mathbf{X}\mathbf{X}^* $ 의 고유값 분포를 제어하기 위해, 해저블리스 방법과 스티엘제스 변환 기법을 기반으로 한 재귀적 접근을 사용한다.
• 복소 평면으로 결과를 확장하고 스티엘제스 변환 $ m_n(z) $ 을 분석하기 위해 경험적 분포 함수의 대칭화를 사용한다.
• 꼬리 행동을 제어하기 위해 절단된 랜덤 변수 $ \widehat{X}_{jk} $ 와 $ \widetilde{X}_{jk} $ 를 도입하고, 대규모 이탈 부등식을 적용한다.
• 집중 경계와 마틴게일 유형 부등식을 적용하여 경험적 및 기대 스티엘제스 변환 간의 차이를 제어한다.
• 스펙트럼 매개변수 $ z = u + iv $ 의 이진 분해를 사용하여 오차 분석을 국소화한다. 여기서 $ v_k $ 는 기하급수적으로 감소한다.
• 테일러 전개와 도함수 제어를 통해, 해저블리스 항목과 오차 항 $ \Lambda_n(z) = \widetilde{m}_n(z) - S_y(z) $ 에 대한 균일 유계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하위지수 꼬리 조건 하에서 표본 공분산 행렬의 경험적 고유값 분포가 Marchenko–Pastur 법칙으로 수렴하는 최적의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 수렴 속도는 꼬리 감쇠 매개변수 $ \varkappa $ 와 로그 보정에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 기존의 $ O(n^{-1/2}) $ 속도를 향상시키는 고확률 유계를 콜모고로프 거리에 대해 확립할 수 있는가?
• RQ4 하위지수 꼬리 조건 하에서 표본 공분산 행렬의 고유벡터는 어느 정도 분산 방지되는가?
• RQ5 경험적 고유값 측도의 스티엘제스 변환의 수렴 속도는 무엇인가?

주요 결과

• 경험적 고유값 분포 $ \mathcal{F}_n(x) $ 와 Marchenko–Pastur 법칙 $ G_y(x) $ 사이의 콜모고로프 거리는 고도의 확률로 $ O(n^{-1} \beta_n^4) $ 이하로 유계이며, 여기서 $ \beta_n = (\log n \cdot (\log \log n)^\alpha)^{1/\varkappa + 1} $ 이다.
• 고도의 확률로 고유벡터 행렬의 최대 항목은 $ \max_{j,k} |u_{jk}|^2 \leq \frac{\beta_n^4}{n} $ 를 만족하며, 이는 강한 분산 방지성을 시사한다.
• 고유벡터 항목의 누적분포는 고도의 확률로 $ \left| \sum_{\nu=1}^k |u_{j\nu}|^2 - \frac{k}{n} \right| \leq \frac{\beta_n^2}{\sqrt{n}} $ 를 만족한다.
• 스티엘제스 변환 오차 $ |\widetilde{m}_n(z) - S_y(z)| $ 는 고도의 확률로 $ v \geq v_0 = A_0 n^{-1} \beta_n^4 $ 인 경우 $ O(n^{-2}v^{-2}) $ 이하로 유계이다.
• 특히 꼬리가 무거운 분포에 대해 하위지수 감쇠를 보일 경우, 이전의 $ O(n^{-1/2}) $ 유계보다 수렴 속도가 크게 향상된다.
• 결과는 복소 평면의 이진 분할 전역에서 균일하게 성립하며, 국소화 기법을 통해 스펙트럼 지지의 가장자리까지 확장된다.