[논문 리뷰] On the regularity of maps solutions of optimal transportation problems

Grégoire Loeper|arXiv (Cornell University)|2005. 04. 07.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 임의의 매끄럽고 양수인 데이터에 대해 몽게 문제에서 최적 운반 지도의 연속성을 보장하는 필요충분조건인 비음성 비용 단면 곡률 조건을 확립한다. 비용 함수가 리만 다양체 위의 제곱 거리일 경우, 비용 단면 곡률은 다양체의 단면 곡률로 축소되며, 이는 다양체가 어느 곳이든 음의 곡률을 가질 경우 최적 지도의 불연속성을 암시한다.

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition on the cost function so that the map solution of Monge's optimal transportation problem is continuous for arbitrary smooth positive data. This condition was first introduced by Ma, Trudinger and Wang \cite{MTW, TW} for a priori estimates of the corresponding Monge-Ampère equation. It is expressed by a so-called {\em cost-sectional curvature} being non-negative. We show that when the cost function is the squared distance of a Riemannian manifold, the cost-sectional curvature yields the sectional curvature. As a consequence, if the manifold does not have non-negative sectional curvature everywhere, the optimal transport map {\em can not be continuous} for arbitrary smooth positive data. The non-negativity of the cost-sectional curvature is shown to be equivalent to the connectedness of the contact set between any cost-convex function (the proper generalization of a convex function) and any of its supporting functions. When the cost-sectional curvature is uniformly positive, we obtain that optimal maps are continuous or Hölder continuous under quite weak assumptions on the data, compared to what is needed in the Euclidean case. This case includes the reflector antenna problem and the squared Riemannian distance on the sphere.

연구 동기 및 목표

• 임의의 매끄럽고 양수인 데이터에 대해 최적 운반 지도의 연속성이 성립하는 정확한 조건을 규명하는 것.
• Ma-Trudinger-Wang 조건(A3w)의 기하학적 의미를 비용 단면 곡률의 관점에서 명확히 하는 것.
• 비용 단면 곡률과 리만 다양체의 단면 곡률 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 음의 단면 곡률을 가진 다양체에서는 최적 운반 지도가 연속이 될 수 없음을 보여주는 것.
• 비용 단면 곡률이 일관되게 양수일 경우, 약한 데이터 가정 하에 최적 지도의 호일더 연속성을 보장하는 것.

제안 방법

• 비용 함수를 위한 단면 곡률의 일반화로서 비용 단면 곡률 텐서 $\mathfrak{S}_c(x,y)(\xi,\nu)$ 를 도입한다.
• c-볼록성과 c-볼록 함수 및 그 지지 함수 사이의 접촉 집합의 개념을 정의하고 분석한다.
• A3w 조건(비음성 비용 단면 곡률)을 사용하여 접촉 집합의 연결성을 증명하며, 이는 정규성에 있어 핵심적이다.
• 기하학적 및 측도론적 기법을 적용하며, 목표 공간 내 선분 주변의 부피 추정을 포함한다.
• 칸토로비치 이중성 프레임워크를 활용하여 최적 운반 계획과 c-볼록 잠재함수 및 그 하부미분 간의 관계를 설정한다.
• 지지 함수를 구성하고 A1 및 A2 조건 하에서 미분동형성 성질을 활용하여 운반 이웃 영역의 측도에 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 매끄럽고 양수인 데이터에 대해 최적 운반 지도의 연속성이 성립하기 위한 비용 함수에 대한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 비용 함수가 리만 다양체 위의 제곱 거리일 경우 비용 단면 곡률은 그 다양체의 단면 곡률과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 기저가 되는 다양체에 어떤 기하학적 조건이 성립할 경우 최적 운반 지도가 연속이 아니게 되는가?
• RQ4 비용 단면 곡률이 일관되게 양수일 경우, 더 강한 곡률 가정 하에 최적 지도의 정규성이 향상될 수 있는가?
• RQ5 c-볼록 함수와 그 지지 함수 사이의 접촉 집합의 연결성이 최적 지도의 정규성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비용 단면 곡률 조건 A3w(비음성 비용 단면 곡률)는 임의의 매끄럽고 양수인 데이터 하에서 최적 운반 지도의 연속성에 대해 필수적이고 충분한 조건이다.
• 비용 함수가 리만 다양체 위의 제곱 거리일 경우, 비용 단면 곡률은 다양체의 단면 곡률과 일치한다.
• 리만 다양체가 어느 점에서라도 음의 단면 곡률을 가질 경우, 임의의 매끄럽고 양수인 데이터 하에서 최적 운반 지도는 연속이 될 수 없다.
• 비용 단면 곡률이 일관되게 양수일 경우, 데이터에 대한 최소한의 가정 하에 최적 지도가 연속이거나 심지어 호일더 연속이 됨을 보장하며, 이는 유클리드 경우에 알려진 결과를 향상시킨다.
• c-볼록 함수와 그 지지 함수 사이의 접촉 집합의 연결성은 비용 단면 곡률의 음성과 동치이다.
• 구면 위의 제곱 비용(양의 단면 곡률를 가짐)에 대해 최적 운반 지도는 연속적이며, 이는 비트레이스 기하 구조에서 이론이 성립함을 확인한다.