[논문 리뷰] On the remarkable relations among PDEs integrable by the inverse spectral transform method, by the method of characteristics and by the Hopf-Cole transformation

A. I. Zenchuk, P. M. Santini|ArXiv.org|2008. 01. 25.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 역스펙트럼 변환으로 풀 수 있는 PDE(=S-적분 가능), 특성선 방법으로 풀 수 있는 PDE(=Ch-적분 가능), 그리고 호프-콜-변환으로 풀 수 있는 PDE(=C-적분 가능)의 세 클래스 간 깊은 연결을 확립한다. 블록 프로베니우스 행렬 축소와 체계적 제거 절차를 행렬 버거스 계열(C-적분 가능)에 적용함으로써, KP 및 데이비-스튜어트슨 방정식과 같은 (2+1)차원 S-적분 가능 시스템을 유도하며, 이들의 라크스 쌍, 대칭성, 해가 모두 낮은 차원의 C- 및 Ch-적분 가능 기저에서 유래됨을 드러낸다.

ABSTRACT

We establish deep and remarkable connections among partial differential equations (PDEs) integrable by different methods: the inverse spectral transform method, the method of characteristics and the Hopf-Cole transformation. More concretely, 1) we show that the integrability properties (Lax pair, infinitely-many commuting symmetries, large classes of analytic solutions) of (2+1)-dimensional PDEs integrable by the Inverse Scattering Transform method ($S$-integrable) can be generated by the integrability properties of the (1+1)-dimensional matrix Bürgers hierarchy, integrable by the matrix Hopf-Cole transformation ($C$-integrable). 2) We show that the integrability properties i) of $S$-integrable PDEs in (1+1)-dimensions, ii) of the multidimensional generalizations of the $GL(M,\CC)$ self-dual Yang Mills equations, and iii) of the multidimensional Calogero equations can be generated by the integrability properties of a recently introduced multidimensional matrix equation solvable by the method of characteristics. To establish the above links, we consider a block Frobenius matrix reduction of the relevant matrix fields, leading to integrable chains of matrix equations for the blocks of such a Frobenius matrix, followed by a systematic elimination procedure of some of these blocks. The construction of large classes of solutions of the soliton equations from solutions of the matrix Bürgers hierarchy turns out to be intimately related to the construction of solutions in Sato theory. 3) We finally show that suitable generalizations of the block Frobenius matrix reduction of the matrix Bürgers hierarchy generates PDEs exhibiting integrability properties in common with both $S$- and $C$- integrable equations.

연구 동기 및 목표

• 역스펙트럼 변환으로 풀 수 있는 PDE(S-적분 가능), 특성선 방법으로 풀 수 있는 PDE(Ch-적분 가능), 호프-콜-변환으로 풀 수 있는 PDE(C-적분 가능) 간의 기본적인 구조적 및 적분 가능성 연결 고리를 규명하는 것.
• 행렬 버거스 계열(C-적분 가능)을 통한 행렬 축소 기법을 통해 (2+1)차원 S-적분 가능 시스템의 적분 가능성 성질—예를 들어 라크스 쌍, 교환 가능한 대칭성, 해석적 해—가 유래됨을 보여주는 것.
• GL(M,C) 자기 dual 양-밀스 및 칼로제어 방정식을 포함한 다차원 S-적분 가능 시스템이 특성선 방법으로 풀 수 있는 새로운 다차원 행렬 방정식으로부터 유도될 수 있음을 보여주는 것.
• 일반화된 블록 프로베니우스 축소를 통해 S- 및 C-적분 가능 시스템의 특성을 혼합한 새로운 PDE를 구성하는 것.
• S-적분 가능 시스템의 해 공간과 사토 이론을 통한 해 생성 방식 간의 관계를 규명하며, 특히 KP의 경우에 초점을 맞추는 것.

제안 방법

• 1차원 행렬 버거스 계열의 행렬 장에 블록 프로베니우스 행렬 축소를 적용하여, 기저가 되는 행렬 방정식의 사슬을 형성하는 블록으로 분해하는 것.
• 프로베니우스 행렬의 블록에 대해 체계적 제거 절차를 수행하여, KP 및 데이비-스튜어트슨 방정식과 같은 (2+1)차원 진화 PDE를 도출하는 것.
• 유도된 S-적분 가능 시스템의 라크스 쌍 고유함수를 사용하여 그 점근 전개 계수를 재구성하며, 이는 행렬 버거스 계열의 기저가 되는 통합 사슬의 요소와 일치함을 보이는 것.
• 유도된 (2+1)차원 시스템의 라크스 쌍과 해 공간을 행렬 버거스 계열 및 그 축소 절차를 통해 구성하는 것.
• 프로베니우스 축소를 고차원 환경으로 일반화하여, 특성선 방법으로 풀 수 있는 다차원 시스템—예를 들어 다차원 칼로제어 및 자기 dual 양-밀스 방정식—을 도출하는 것.
• 유도된 시스템의 일致성 여부를 검증함으로써, (255) 및 (256)과 같은 제약 조건이 주 진화 방정식 (251)–(252)와 일致함을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 C-적분 가능 행렬 버거스 계열을 통해 (2+1)차원 S-적분 가능 PDE의 적분 가능성 성질—예를 들어 라크스 쌍, 무한한 교환 가능한 대칭성—이 유도될 수 있는가?
• RQ2 S-적분 가능 시스템의 해 공간은 사토 이론을 통한 해 생성 방식과 어떻게 관련되어 있는가? 특히 KP의 경우에 대해 설명하는 것.
• RQ3 GL(M,C) 자기 dual 양-밀스 및 칼로제어 방정식을 포함한 다차원 S-적분 가능 시스템이 행렬 축소를 통해 단일한 Ch-적분 가능 행렬 방정식으로부터 도출될 수 있는가?
• RQ4 PDE가 S- 및 C-적분 가능 시스템의 특성을 혼합적으로 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ5 군 이론적 도구를 사용하여 프로베니우스 축소를 고차원에서 체계적으로 일반화하여 새로운 적분 가능 시스템을 유도할 수 있는 방법이 존재하는가?

주요 결과

• (2+1)차원 S-적분 가능 PDE의 적분 가능성 성질—라크스 쌍, 무한한 교환 가능한 대칭성 등—은 행렬 버거스 계열을 블록 프로베니우스 축소 및 행렬 블록 제거 절차를 통해 생성됨을 보여줌.
• S-적분 가능 시스템의 해석적 해 구성은 사토 이론에서의 해 생성과 깊이 연결되어 있으며, KP의 경우 두 해 공간이 정확히 일치함.
• (2+1)차원 N-웨이브, KP, 데이비-스튜어트슨 방정식은 행렬 버거스 계열의 축소로 나타나며, 이들의 라크스 쌍 및 해 구조는 C-적분 가능 기저에서 기인함.
• 특성선 방법으로 풀 수 있는 새로운 다차원 행렬 방정식이 S-적분 가능 시스템—GL(M,C) 자기 dual 양-밀스 및 다차원 칼로제어 방정식—을 생성하며, 이는 도출된 라크스 쌍을 통해 그 S-적분 가능성의 타당성을 확인함.
• 일반화된 블록 프로베니우스 축소는 S- 및 C-적분 가능 시스템의 특성을 공유하는 PDE를 도출하며, 예를 들어 특정 제로 조건 하에서 (251)–(252) 시스템은 S-적분 가능 N-웨이브 방정식 또는 C-적분 가능 N-웨이브 유형 방정식으로 축소됨.
• 유도된 (2+1)차원 시스템—KP 및 DS 방정식 포함—은 선형 연산자가 상호 일致하며, 행렬 버거스 계열의 고유함수로부터 구성된 해 공간을 지님.