[논문 리뷰] On the self-adjointness of H+A*+A

Andrea Posilicano|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 11.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 30인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자기수반 $ H $ 의 특이 섭동 $ A $ 를 갖는 형식적 해밀토니안 $ H + A^* + A $ 의 자기수반 실현을 구축하기 위해 새로운 이중 Kreïn 해석식 공식 접근법을 제시한다. 명시적인 해석식 차분 공식을 유도하고, 정규화된 모델에 대한 노름 해석식 수렴을 통해 넬슨 모형 해밀토니안이 유도됨을 증명하며, 양자장론에서 특이 섭동 이론과 정규화를 통합한다.

ABSTRACT

Let $H:D(H)\subseteq{\mathscr F} o{\mathscr F}$ be self-adjoint and let $A:D(H) o{\mathscr F}$ (playing the role of the annihilator operator) be $H$-bounded. Assuming some additional hypotheses on $A$ (so that the creation operator $A^{*}$ is a singular perturbation of $H$), by a twofold application of a resolvent Krein-type formula, we build self-adjoint realizations $\hat H$ of the formal Hamiltonian $H+A^{*}+A$ with $D(H)\cap D(\hat H)=\{0\}$. We give an explicit characterization of $D(\hat H)$ and provide a formula for the resolvent difference $(-\hat H+z)^{-1}-(-H+z)^{-1}$. Moreover, we consider the problem of the description of $\hat H$ as a (norm resolvent) limit of sequences of the kind $H+A^{*}_{n}+A_{n}+E_{n}$, where the $A_{n}\!$'s are regularized operators approximating $A$ and the $E_{n}$'s are suitable renormalizing bounded operators. These results show the connection between the construction of singular perturbations of self-adjoint operators by Krein's resolvent formula and nonperturbative theory of renormalizable models in Quantum Field Theory; in particular, as an explicit example, we consider the Nelson model.

연구 동기 및 목표

• 자기수반 $ H $ 의 특이 섭동 $ A $ 를 갖는 형식적 해밀토니안 $ H + A^* + A $ 의 자기수반 실현을 이중 Kreïn 해석식 공식 적용을 통해 제공한다.
• 스펙트럼 및 산란 분석을 가능하게 하는 해석식 차분 공식 $ (-\widehat{H}+z)^{-1} - (-H+z)^{-1} $ 의 명시적 공식 유도.
• 정규화된 모델 $ H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ 의 노름 해석식 근사에서 넬슨 모형 해밀토니안 $ H_{\rm Nelson} $ 가 유도됨을 보여주며, $ A_n $ 은 정규화된 파괴 연산자이고 $ E_n $ 은 정규화 보정항이다.
• 근사 해밀토니안의 와이어 함수에서 연산자 $ A H^{-1}_{\rm free} A^* $ 가 균형 항으로서의 역할을 하며, 정규화 과정에서 $ E_n $ 이 필요한 이유를 설명한다.
• 특이 섭동 이론의 Kreïn 공식 접근법과 양자장론의 비섭동적 정규화 프레임워크를 통합하며, 특히 넬슨 모형에 대해 이를 실현한다.

제안 방법

• 해밀토니안 $ H + A^* + A $ 의 자기수반 실현 $ \widehat{H} $ 를 구축하기 위해 Kreïn 해석식 공식을 두 번 적용한다. 이때 $ A^* $ 는 $ H $ 의 특이 섭동로 간주된다.
• 와이어 함수와 확장 매개변수를 포함한 일반화된 해석식 공식을 사용하며, 최종 해석식은 $ (-H+z)^{-1} $, $ G_z = (A R_{\bar{z}})^* $, 블록 행렬 역행렬의 형태로 표현된다.
• 자기수반 $ H_{\rm free} $ 를 특이 섭동하여 중간 해밀토니안 $ \widehat{H}_0 $ 을 얻고, 이후 $ H_{\rm Nelson} $ 을 $ \widehat{H}_0 $ 의 특이 섭동으로 구성함으로써 Kreïn 공식의 이중 적용을 가능하게 한다.
• 초단파계 커파이팅이 있는 정규화된 연산자 $ A_n $ 을 구성하고, $ H_n = H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ 를 정의한다. 여기서 $ E_n $ 은 기저 상태 에너지 전개로부터 유도된 정규화 보정항이다.
• 와이어 함수와 확장 매개변수 $ T_n \to T_{\rm Nelson} $ 의 수렴을 보여 정규화된 모델 $ H_n $ 이 $ H_{\rm Nelson} $ 으로 노름 해석식 수렴을 입증한다.
• 항등식 $ A_{{T_{\rm Nelson}}}G_z = T_{\rm Nelson} - A(G - G_z) $ 를 사용하여, 최종 해석식을 자유 해석식과 극한 확장 매개변수의 형태로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 넬슨 모형 해밀토니안은 Kreïn 해석식 공식을 사용하여 자기수반 연산자의 특이 섭동으로 구성될 수 있는가? 이 경우 명시적 해석식 차분 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 정규화된 해밀토니안 $ H_n $ 의 와이어 함수는 극한 $ H_{\rm Nelson} $ 과 어떻게 다를까? 그리고 항목 $ A_n H^{-1}_{\rm free} A_n^* $ 는 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 왜 근사식 $ H_n = H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ 에서 정규화 보정항 $ E_n $ 이 필요한가? 그리고 $ T_n $ 이 $ T_{\rm Nelson} $ 으로 수렴하는 데서 이는 어떤 관련이 있는가?
• RQ4 자기수반 도메인 $ \{ \Psi \in \mathfrak{F} : \Psi + (A H^{-1}_{\rm free})^* \Psi \in \text{dom}(H_{\rm free}) \} $ 이 특이 섭동 프레임워크와 호환되는가?
• RQ5 넬슨 모형 해밀토니안은 정규화된 모델의 노름 해석식 근사로 실현될 수 있는가? 그리고 이러한 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 자기수반 실현 $ \widehat{H} $ 는 이중 Kreïn 해석식 공식 적용을 통해 구성되며, $ \text{dom}(\widehat{H}) \cap \text{dom}(H) = \{0\} $ 를 만족한다.
• 해석식 차분 공식이 명시적으로 도출된다: $ (-\widehat{H}+z)^{-1} - (-H+z)^{-1} = -[G_z \quad R_z] \begin{bmatrix} A_{T_{\rm Nelson}} G_z & G_{\bar{z}}^* - 1 \\ G_z - 1 & R_z \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} G_{\bar{z}}^* \\ R_z \end{bmatrix} $, 여기서 $ R_z = (-H+z)^{-1} $, $ G_z = (A R_{\bar{z}})^* $.
• 넬슨 해밀토니안의 도메인은 $ s > 3/4 $ 에 대해 $ \text{dom}(H_{\rm Nelson}) = \{ \Psi \in \text{dom}(H_{\rm free}^{1-s}) : \Psi + (A H^{-1}_{\rm free})^* \Psi \in \text{dom}(H_{\rm free}) \} $ 로 특성화된다.
• 수열 $ H_n = H_{\rm free} + A_n^* + A_n + E_n $ 는 정규화된 연산자 $ A_n $ 과 정규화 보정항 $ E_n $ 을 포함하여 $ H_{\rm Nelson} $ 으로 노름 해석식 수렴한다.
• $ T_n = E_n - A_n H^{-1}_{\rm free} A_n^* $ 이 연산자 노름에서 $ T_{\rm Nelson} $ 으로 수렴함을 입증하여 Kreïn 프레임워크 내에서 극한의 타당성을 확보한다.
• $ -A(G - G_z) $ 는 차이 $ (A H^{-1}_{\rm free})^* - A(-H_{\rm free} + \bar{z})^{-1} $ 에서 유도되며, $ H_{\rm Nelson} $ 의 와이어 함수에서 정규화 항으로 작용한다. 이는 근사 수열에서 $ A_n H^{-1}_{\rm free} A_n^* $ 의 필요성을 설명한다.