[论文解读] On the simply connectedness of non-negatively curved Kähler manifolds and applications

Albert Chau, Luen-Fai Tam|ArXiv.org|Jun 15, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 8

一句话总结

该论文证明了具有非负全纯双全纯曲率和一致pinched正里奇曲率的完备非紧凯勒流形是单连通的，并且双全纯同构于ℂⁿ中的拟凸区域。通过长时间凯勒-里奇流解和梯度孤立子极限的分析，作者证明了截面半径的一致性与纤维丛结构，推广了统一化结果，并支持了丘理论关于此类流形双全纯结构的猜想。

ABSTRACT

We study complete noncompact long time solutions $(M, g(t))$ to the Kähler-Ricci flow with uniformly bounded nonnegative holomorphic bisectional curvature. We will show that when the Ricci curvature is positive and uniformly pinched, i.e. $ R_\ijb \ge cRg_\ijb$ at $(p,t)$ for all $t$ for some $c>0$, then there always exists a local gradient Kähler Ricci soliton limit around $p$ after possibly rescaling $g(t)$ along some sequence $t_i o \infty$. We will show as an immediate corollary that the injectivity radius of $g(t)$ along $t_i$ is uniformly bounded from below along $t_i$, and thus $M$ must in fact be simply connected. Additional results concerning the uniformization of $M$ and fixed points of the holomorphic isometry group will also be established. We will then consider removing the condition of positive Ricci for $(M, g(t))$. Combining our results with Cao's splitting for Kähler Ricci flow \cite{Cao04} and techniques of Ni-Tam \cite{NiTam03}, we show that when the positive eigenvalues of the Ricci curvature are uniformly pinched at some point $p \in M$, then $M$ has a special holomorphic fiber bundle structure. We will treat a special cases, complete Kähler manifolds with non-negative holomorphic bisectional and average quadratic curvature decay as well as the case of steady gradient Kähler Ricci solitons.

研究动机与目标

• 确定具有非负全纯双全纯曲率和一致pinched里奇曲率的完备非紧凯勒流形的拓扑与几何结构。
• 通过分析长时间凯勒-里奇流解与梯度孤立子极限，建立此类流形的单连通性。
• 通过曲率衰减或孤立子条件，推广统一化结果，表明流形双全洁同构于ℂⁿ或拟凸区域。
• 研究当仅正里奇特征值被一致pinched时，流形的全纯与黎曼纤维丛结构。
• 在曲率与流条件下，研究全纯等距群的不动点性质。

提出的方法

• 分析具有一致有界非负全纯双全纯曲率的完备非紧凯勒流形上凯勒-里奇流的长时间解(g(t))。
• 在万有覆盖上应用Cao的分裂定理，将其分解为ℂᵏ × Ñ，其中h(t)在Ñ上具有正里奇曲率。
• 沿tᵢ → ∞进行缩放，提取点p处的局部梯度凯勒-里奇孤立子极限，证明截面半径有下界。
• 应用Ni-Tam与Cao的技术，表明正里奇特征值的一致pinching意味着流形在ℂᵏ/Γ上具有全纯与黎曼纤维丛结构。
• 使用庞加莱坐标与幂级数展开分析纤维的全纯等距，证明在非共振条件下其为上三角多项式。
• 利用膨胀梯度孤立子的体积增长估计，表明Vₒ(r) ≥ Crⁿ对r ≥ 1成立，以支持曲率衰减与结构结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非负全纯双全纯曲率的完备非紧凯勒流形是单连通的？
• RQ2 凯勒-里奇流能否用于提取揭示非紧凯勒流形拓扑与几何结构的孤立子极限？
• RQ3 当仅里奇曲率的正特征值在某点被一致pinched时，会形成何种纤维丛结构？
• RQ4 在曲率与流条件下，此类流形的有限或完整全纯等距群是否具有不动点？
• RQ5 膨胀梯度孤立子中的体积增长如何与曲率衰减及统一化相关？

主要发现

• 若在某点p处里奇曲率被一致pinched，则沿tᵢ → ∞的g(t)的截面半径一致有下界，表明M是单连通的。
• 当里奇曲率被一致pinched且平均标量曲率呈二次衰减时，M双全洁同构于ℂⁿ。
• 若仅里奇曲率的正特征值被一致pinched，则M是ℂᵏ/Γ上的全纯与黎曼纤维丛，其纤维为ℂⁿ⁻ᵏ或ℂⁿ⁻ᵏ中的拟凸区域。
• 对于在某点具有最大标量曲率且全纯双全纯曲率非负有界的稳态梯度凯勒-里奇孤立子，若满足非共振条件，则M是ℂᵏ/Λ₁上的全纯向量丛。
• 膨胀梯度孤立子中测地球的体积满足Vₒ(r) ≥ Crⁿ对r ≥ 1成立，表明达到最大体积增长。
• 当里奇曲率被一致pinched且凯勒-里奇流具有有界曲率的长时间解时，(M,g)的任意有限个全纯等距集合都有不动点。