[논문 리뷰] On the spectral gap of random quantum channels

Carlos E. González-Guillén, Marius Junge외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 21.

Random Matrices and Applications참고 문헌 27인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 하르 분포를 가진 등장사상에 의해 유도된 랜덤 양자 채널의 스펙트럼 간격에 대한 날카운 상한을 확립하여, $k \geq 169$일 때 이들이 양자 확산자임을 증명한다. 결과적으로, 일반적인 조건 하에서 무한한 이동 대칭 행렬 곱 상태(TI-MPS)의 축소 밀도 행렬은 최대 엔트로피 원리를 만족하며, 빈도수에 따라 von Neumann 엔트로피가 $l \log k$에 $O(D^{-1/5})$ 보정항을 더해 수렴한다.

ABSTRACT

In this work, we prove a lower bound on the difference between the first and second singular values of quantum channels induced by random isometries, that is tight in the scaling of the number of Kraus operators. This allows us to give an upper bound on the difference between the first and second largest (in modulus) eigenvalues of random channels with same large input and output dimensions for finite number of Kraus operators $k\geq 169$. Moreover, we show that these random quantum channels are quantum expanders, answering a question posed by Hastings. As an application, we show that ground states of infinite 1D spin chains, which are well-approximated by matrix product states, fulfill a principle of maximum entropy.

연구 동기 및 목표

• 하르 분포를 가진 등장사상에 의해 유도된 랜덤 양자 채널의 스펙트럼 간격에 대한 날카운 상한을 확립하는 것, 특히 유한한 $k \geq 169$에 대해.
• 이러한 랜덤 양자 채널이 양자 확산자임을 보여주며, 허스팅스의 결과를 등장사상 기반 모델로 일반화하는 것.
• 일반적인 조건 하에서 무한한 이동 대칭 행렬 곱 상태(TI-MPS)의 축소 밀도 행렬이 최대 엔트로피 원리를 만족함을 보이는 것.
• 랜덤 행렬 이론 도구를 사용하여 채널 동역학이 고정점으로 수렴하는 방식을 분석하는 것, 이는 고 엔트로피 von Neumann 엔트로피를 가짐.
• 큰 결합 차수 근처에서 TI-MPS 축소 밀도 행렬의 순도와 엔트로피에 대한 정량적 한계를 제공하는 것.

제안 방법

• 랜덤 등장사상의 모멘트를 계산하고 연산자 노름의 점근적 기대값을 유도하기 위해 윈거텐 계산법을 사용함.
• 양자 채널과 관련된 초연산자의 특이값에 대한 하한 및 상한을 적용하며, 랜덤 행렬 이론을 활용함.
• 채널 $\Phi$의 고정점을 $\Phi^t(\mathrm{I}/D)$로 근사하기 위해 결합 논증을 활용함으로써, 명시적 고정점 $\Lambda_\Phi$에 대한 의존도를 줄임.
• 유니터리 군 위의 리프시츠 함수에 대한 측도 집중을 사용하여 축소 밀도 행렬의 두 번째 모멘트의 변동성을 통제함.
• 채널 $\Phi$의 스펙트럼 간격을 이용하여 $\Phi^t(\mathrm{I}/D)$가 고정점 $\Lambda_\Phi$로 수렴하는 속도를 제한함.
• 특히 $\|\Lambda_\Phi - \Phi^t(\mathrm{I}/D)\|_1 \leq \lambda_2^t(\Phi) \sqrt{D}$를 확립하며, 여기서 $\lambda_2(\Phi)$는 채널 $\Phi$의 두 번째로 큰 특이값임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하르 분포를 가진 등장사상에 의해 유도된 랜덤 양자 채널의 스펙트럼 간격은 무엇이며, Kraus 연산자 수 $k$에 따라 어떻게 척도화되는가?
• RQ2 이러한 랜덤 양자 채널은 양자 확산자인가? 이는 유한한 $k$에 대해서도 성립하는가?
• RQ3 무한한 TI-MPS의 축소 밀도 행렬은 최대 엔트로피 원리를 만족하는가? 최대 엔트로피로 수렴하는 속도는 어떠한가?
• RQ4 큰 결합 차수 $D$ 근처에서 축소 밀도 행렬 $\rho_l$의 순도는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 채널의 고정점은 $t$-단계 동역학에 의한 균일 혼합 상태의 근사로 잘 이루어질 수 있는가? 오차는 어느 정도인가?

주요 결과

• 모든 $k \geq 169$에 대해, 하르 분포를 가진 등장사상에 의해 유도된 랜덤 양자 채널의 스펙트럼 간격은 상수로 하한이 존재함을 확인하여, 이들이 양자 확산자임을 증명함.
• 두 번째로 큰 특이값 $\lambda_2(\Phi)$는 상수항을 제외하고 $\lambda_2(\Phi) \leq 1/\sqrt{k}$를 만족하며, 허스팅스 및 피지에르의 기존 결과와 일치함.
• 무한한 $D$에서, 축소 밀도 행렬의 두 번째 모멘트는 근사적으로 $\mathrm{tr}(\rho_l^2) \leq 1/k^l + O(D^{-1/5})$를 만족함.
• $l \ll D^{1/5}$에 대해, 연산자 노름의 편차는 $\|\rho_l - \mathrm{I}/k^l\|_\infty \leq O(D^{-1/10})$를 만족하며, 이는 균일 혼합 상태로의 높은 정밀도를 의미함.
• $\rho_l$의 von Neumann 엔트로피는 $S(\rho_l) = l \log k - k^l O(D^{-1/5})$이며, $D$에 대해 지수적으로 작은 확률 이외에는 항상 성립함.
• 채널의 고정점 $\Lambda_\Phi$는 큰 von Neumann 엔트로피를 가지며, 이는 양자 확산자 성질과 최대 엔트로피 원리의 타당성을 뒷받침함.