[논문 리뷰] On the torsion in symmetric powers on congruence subgroups of Bianchi groups

Jonathan Pfaff, Jean Raimbault|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 16.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 34인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비아니 군의 계량 부분군의 두 번째 코homology 군에서 토판의 지수적 성장을 확립하며, 표준 표현의 m차 대칭 거듭제곱 표현에 의해 트위스트된 경우의 토판 순서의 로그 성장률이 약 ~m²로 증가한다. 분석적 토판과 조합적 라이드마이어 토판을 사용하여, 관련 오비폴드의 쌍곡체적 부피와 계량 부분군의 수준에 의존하는 상한과 하한을 도출하였으며, 이는 이전의 컴acts한 경우에서 유한 부피의 산술 3-다양체로의 결과 확장을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper we prove that for a fixed neat principal congruence subgroup of a Bianchi group the order of the torsion part of its second cohomology group with coefficients in an integral lattice associated to the m-th symmetric power of the standard representation of SL_2(C) grows exponentially in m^2. We give upper and lower bounds for the growth rate. Our result extends a result of Mueller and Marshall, who proved the corresponding statement for closed arithmetic 3-manifolds, to the finite-volume case. We also prove a limit multiplicity formula for twisted combinatorial Reidemeister torsion on higher dimensional hyperbolic manifolds.

연구 동기 및 목표

• 비아니 군의 계량 부분군의 두 번째 코homology 군에서 표준 표현의 대칭 거듭제곱 표현에 의해 트위스트된 경우의 토판 성장률을 정량화하는 것.
• 이전에 컴팩트한 산술 3-다양체에서 증명된 지수적 토판 성장 결과를, 비아니 군의 비콤팩트이지만 유한 부피인 경우로 확장하는 것.
• 고차원 쌍곡 다각형에서 트위스트된 조합적 라이드마이어 토판에 대한 극한 승수 공식을 개발하는 것.
• 계량 부분군의 수준과 몫 공간의 쌍곡체적 부피에 따라 토판 순서의 성장률에 대한 명시적 상한과 하한을 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 유한 부피의 쌍곡 3-오비폴드에 대한 정규화된 분석적 토판을 사용하고, 극한 승수 공식을 통해 이를 조합적 라이드마이어 토판과 연결한다.
• 표준 표현 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$의 m차 대칭 거듭제곱 $V(m)$에서 $\Gamma(\mathfrak{a})$-불변 정수 격자 $\Lambda(m)$를 구성한다.
• 계수를 $\Lambda(m)$로 갖는 코homology 복합체를 분석하여, 경계 연산자의 노름과 표현 행렬의 스펙트럼 성질을 이용해 토판 부분군의 크기를 근사한다.
• 일반화된 계수 정리와 경계 사상의 상자핵을 추정하여, 경계 행렬의 행렬식을 통해 코homology에서의 토판을 상한한다.
• 이 방법은 대칭 거듭제곱 표현의 노름 추정과 $KAK$-분해를 기반으로 경계 연산자의 노름 성장률을 제어한다.
• 기준 수준 $\mathfrak{a}_0$를 사용하고, 분석적 토판 차이를 통해 아이젠스타인 급수 기여를 비교함으로써 상한을 보다 정밀하게 개선한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아니 군의 계량 부분군의 두 번째 코homology 군에서의 토판은 대칭 거듭제곱 지수 $m$의 함수로 어떻게 성장하는가?
• RQ2 컴팩트한 산술 3-다양체에서 증명된 지수적 토판 성장 결과를 비아니 군의 유한 부피 케이스로 확장할 수 있는가?
• RQ3 쌍곡체적 부피와 계량 부분군의 수준에 따라 토판 순서의 로그 성장률에 대한 정확한 상한과 하한은 무엇인가?
• RQ4 고차원 쌍곡 다각형에서 대칭 거듭제곱 표현에 의해 트위스트된 조합적 라이드마이어 토판은 점점 큰 수준에서 어떻게 渐近적으로 행동하는가?

주요 결과

• 코homology 군 $H^2(\Gamma(\mathfrak{a}); \Lambda(m))_{\text{tors}}$의 토판 부분군 순서는 $m^2$에 대해 지수적으로 증가하며, 로그 성장률은 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\operatorname{vol}(X_{\mathfrak{a}})}{\pi} \left(1 - \frac{C_1(\Gamma_D)}{N(\mathfrak{a})}\right)$ 에 의해 아래에서 유계이다.
• 로그 성장률의 상한은 $\frac{\operatorname{vol}(X_{\mathfrak{a}})}{\pi} \left(1 + \frac{C_2(\Gamma_D)}{N(\mathfrak{a})}\right)$ 로 주어지며, 이는 부피에 따라 조정되는 비율로 지수적 성장을 보여준다.
• $D = -7, -11, -19, -43, -67, -163$ 인 경우, 클래스 수가 1이고 단위군이 $\{\pm 1\}$ 이면 상수 $C_1(\Gamma_D)$ 는 4로 취할 수 있다.
• 첫 번째 코homology 군에서의 토판은 $O(m \log m)$ 이하로 성장하며, 이는 차수 2의 경우에 비해 훨씬 느린 성장임을 시사한다.
• 저자들은 고차원 쌍곡 다각형에서 트위스트된 조합적 라이드마이어 토판에 대한 극한 승수 공식을 증명하였으며, 큰 수준의 극한에서 분석적 토판과 조합적 토판을 연결한다.
• 상한과 하한은 $V(m)$ 내의 $\Gamma(\mathfrak{a})$-불변 격자 선택에 대해 안정적이며, 이를 제7.3조의 보조정리에서 보였다.