[论文解读] On the tractable counting of theory models and its application to belief revision and truth maintenance

Adnan Darwiche|ArXiv.org|Mar 9, 2000

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 13被引用 11

一句话总结

本文提出了一种线性时间算法，将有序二叉决策图（OBDDs）转换为确定性可分解否定正则形式（d-DNNF），从而在文字断言、撤回和翻转操作下实现高效的模型计数。其主要贡献在于对d-DNNF进行两次遍历，实现常数时间的蕴含与一致性检查，支持具有有界树宽或小OBDD表示的命题理论的线性时间完整信念维护与信念修正系统。

ABSTRACT

We introduced decomposable negation normal form (DNNF) recently as a tractable form of propositional theories, and provided a number of powerful logical operations that can be performed on it in polynomial time. We also presented an algorithm for compiling any conjunctive normal form (CNF) into DNNF and provided a structure-based guarantee on its space and time complexity. We present in this paper a linear-time algorithm for converting an ordered binary decision diagram (OBDD) representation of a propositional theory into an equivalent DNNF, showing that DNNFs scale as well as OBDDs. We also identify a subclass of DNNF which we call deterministic DNNF, d-DNNF, and show that the previous complexity guarantees on compiling DNNF continue to hold for this stricter subclass, which has stronger properties. In particular, we present a new operation on d-DNNF which allows us to count its models under the assertion, retraction and flipping of every literal by traversing the d-DNNF twice. That is, after such traversal, we can test in constant-time: the entailment of any literal by the d-DNNF, and the consistency of the d-DNNF under the retraction or flipping of any literal. We demonstrate the significance of these new operations by showing how they allow us to implement linear-time, complete truth maintenance systems and linear-time, complete belief revision systems for two important classes of propositional theories.

研究动机与目标

• 开发一种可扩展、可 tractable 的命题理论表示方法，支持高效的逻辑推理。
• 通过扩展DNNF引入一种新的模型计数操作，实现线性时间的信念修正与信念维护。
• 证明d-DNNF在保持DNNF复杂性保证的同时，具备更强的结构特性。
• 将新操作应用于基于模型的诊断，实现基于最小故障假设对故障设备行为的预测。
• 证明DNNF的复杂性保证可扩展至更严格的d-DNNF子类。

提出的方法

• 使用线性时间算法将命题理论的OBDD表示转换为等价的d-DNNF。
• 将d-DNNF定义为DNNF的一个子类，具备可分解性与确定性，确保合取中无共享变量，析取项互斥。
• 为d-DNNF中的节点分配基数：非Σ文字为0，负Σ文字为1，析取节点为min，合取节点为sum。
• 通过移除从或节点指向子节点的边（若子节点基数大于父节点基数）来最小化d-DNNF。
• 构建带有偏导数的计数图，通过两次遍历计算在文字操作下的模型计数。
• 利用偏导数与定理6，在预处理后以常数时间计算任意文字的断言、撤回与翻转操作下的模型计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 OBDD表示能否在时间复杂度为线性的情况下编译为d-DNNF，同时保持可扩展性？
• RQ2 能否在d-DNNF上实现线性时间的模型计数，以支持文字断言、撤回与翻转操作？
• RQ3 所得到的操作能否用于实现完整且线性时间的信念维护与信念修正系统？
• RQ4 该模型计数机制能否在最小故障假设下预测故障设备的行为？
• RQ5 DNNF的复杂性保证是否可扩展至更严格的d-DNNF子类？

主要发现

• 一种线性时间算法可将任意OBDD转换为等价的d-DNNF，表明d-DNNF的可扩展性与OBDD相当。
• d-DNNF上的模型计数操作仅需两次遍历，且在预处理后可实现常数时间的蕴含与一致性检查。
• 该方法支持具有有界树宽或小OBDD的命题理论的线性时间完整信念维护与信念修正系统。
• 该方法可在设备描述大小线性的时间内，高效预测最小故障假设下设备的行为，适用于基于模型的诊断。
• d-DNNF的基数最小化将模型数从八个减少至四个，保持正确性并支持高效推理。
• 在计数图上计算的偏导数可实现文字操作下的精确模型计数，例如在观察S=¬A下将¬A翻转为A后，得到3个模型。