[논문 리뷰] On the use of the Riesz transforms to determine the pressure term in the incompressible Navier-Stokes equations on the whole space

Borys Álvarez-Samaniego, Wilson P. Álvarez-Samaniego외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 23.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Riesz 변환을 사용하여 d차원 유클리드 공간(R^d, d = 2,3)에서 압력 기울기를 위한 새로운 공식을 수립한다. 압력 기울기 공식 ∇p = ∇∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj - Fi,j)는 속도와 외력에 대한 가중 L² 및 L^p 조건 하에서 성립하며, 이는 이전 결과를 개선하여 압력 재구성을 위해 기본 해를 이용한 컨볼루션 대신 Riesz 변환을 사용함으로써 압력 기울기의 계산을 단순화한다.

ABSTRACT

We give some conditions under which the pressure term in the incompressible Navier-Stokes equations on the entire $d$-dimensional Euclidean space is determined by the formula $\displaystyle abla p = abla \left(\sum_{i,j=1}^d \mathcal{R}_i \mathcal{R}_j (u_i u_j - F_{i,j}) ight)$, where $d \in \{2, 3\}$, ${ extbf{u}} := (u_1, \ldots, u_d)$ is the fluid velocity, $\mathbb{F}:= (F_{i,j})_{1\le i,j\le d}$ is the forcing tensor, and for all $k \in \{1, \ldots, d\}$, $\mathcal{R}_k$ is the $k$-th Riesz transform.

연구 동기 및 목표

• R^d (d=2,3)에서 비압축성 라우지-나비에-스토크스 방정식의 압력 기울기를 복잡한 적분 표현을 피하는 간단하고 명시적인 공식으로 제공하는 것.
• Fernández-Dalgo와 Lemarié-Rieusset의 이전 결과를 확장하고 개선하여, 기본 해와의 컨볼루션을 통한 압력 특성화 방식을 개선하는 것.
• 압력 기울기가 Riesz 변환을 통해 직접 계산될 수 있는 조건을 확립하여, 가중 함수 공간에서의 해 분석을 용이하게 하는 것.
• Riesz 변환의 사용을 압력 재구성에 일반화하여, Muckenhoupt 가중치를 가진 가중 L^p 공간에서의 유계성 특성을 활용하는 것.
• 압력 항에 대한 다루기 쉬운 표현을 제공하여, 가중 L² 공간에서의 해의 존재성, 유일성 및 정칙성 연구를 촉진하는 것.

제안 방법

• 비압축성 조건과 라우지-나비에-스토크스 방정식의 구조를 이용하여 압력 기울기 공식 ∇p = ∇∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj - Fi,j)를 유도한다.
• Rₖ = Bₖ / √(-Δ)를 사용하여, 0 < γ < d 이면 L^p_w^γ(R^d) 공간에서 유계 연산자로 작용하는 Riesz 변환을 적용한다.
• Muckenhoupt A_p 가중치 클래스 이론을 적용하여 Riesz 변환과 최대 함수가 L^p_w^γ(R^d)에서 유계임을 증명한다.
• Gagliardo-Nirenberg 보간과 코쉬-횔더 부등식을 사용하여 가중 L^p 공간에서 비선형 항 uiuj를 제어한다.
• ∇q - ∇p의 미세화된 형태 Aα,β,t를 구성하고, 이가 조화 함수이자 충분히 빠르게 감소함을 증명하여, ∇q = ∇p 거의 모든 곳에서 성립함을 이끌어낸다.
• 해 공간 L^σ_w^{σγ}(R^d) + L^2_w^γ(R^d)에는 비자명한 다항식이 존재하지 않음을 증명하여, 미세화된 차이가 0이 되도록 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비압축성 라우지-나비에-스토크스 방정식에서 R^d (d=2,3)에서 압력 기울기를 비선형 항과 외력 항의 Riesz 변환을 직접적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 속도와 외력에 대한 어떤 가중 L^p 및 L^2 조건이 Riesz 변환 공식이 압력 기울기에서 유효하게 되는지를 보장하는가?
• RQ3 기본 해와의 컨볼루션 대비 Riesz 변환을 사용할 경우 압력 항 분석이 어떻게 단순화되는가?
• RQ4 가중치 매개수 γ에 대해 어떤 조건에서 Riesz 변환 공식이 가중 L^p 공간에서 잘 정의되고 유계가 되는가?
• RQ5 Riesz 변환을 통한 압력 재구성은 가중 L² 공간에서의 해에 대한 사전 추정을 유도하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• d ∈ {2,3} 이면, 제시된 조건 하에서 압력 기울기는 ∇p = ∇∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj - Fi,j)로 주어진다.
• 0 < γ < d 이고 1 < p < ∞ 이면 Riesz 변환 Rᵢ와 Rⱼ는 L^p_w^γ(R^d)에서 유계 연산자이다.
• 항 ∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(uiuj)는 2/a + d/r = d 이고 r < d/γ 이면 L^a(0,T; L^r_w^{rγ}(R^d))에 속한다.
• 동일한 조건 하에서 항 ∑ᵢⱼ RᵢRⱼ(Fi,j)는 L^2(0,T; L^2_w^γ(R^d))에 속한다.
• 압력 기울기의 미세화된 차이 Aα,β,t는 식별적으로 0이 되며, 이는 ∇q = ∇p 거의 모든 곳에서 성립함을 증명한다.
• 공간 L^σ_w^{σγ}(R^d) + L^2_w^γ(R^d)에는 비자명한 다항식이 존재하지 않으며, 이는 조화 함수인 미세화된 차이가 0이 되도록 한다.