[論文レビュー] On The Zariski Topology Of Automorphism Groups Of Affine Spaces And Algebras

Alexei Kanel-Belov, Jie-Tai Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Ind-スキーム、トーリック多様体、近似技法を用いて、多項式代数および自由非可換代数のザリスキ位相と自己同型群を調査する。n ≥ 3 のとき、Aut(K[x₁,…,xₙ]) のすべてのInd-スキーム自己同型は内部的であることが証明され、Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) のすべての同型は準内部的である。また、自然なアーベル化を用いた自己同型群の持ち上げ問題は、負の解を示している。

ABSTRACT

We study the Zariski topology of the ind-groups of polynomial and free associative algebras $\Aut(K[x_1,...,x_n])$ (which is equivalent to the automorphism group of the affine space $\Aut(K^n))$) and $\Aut(K< x_1,..., x_n>$ via $\Ind$-schemes, toric varieties, approximations and singularities. We obtain some nice properties of $\Aut(\Aut(A))$, where $A$ is polynomial or free associative algebra over a field $K$. We prove that all $\Ind$-scheme automorphisms of $\Aut(K[x_1,...,x_n])$ are inner for $n\ge 3$, and all $\Ind$-scheme automorphisms of $\Aut(K< x_1,..., x_n>)$ are semi-inner. We also establish that any effective action of torus $T^n$ on $\Aut(K< x_1,..., x_n>)$ is linearizable provided $K$ is infinity. That is, it is conjugated to a standard one. As an application, we prove that $\Aut(K[x_1,...,x_n])$ cannot be embedded into $\Aut(K< x_1,...,x_n>)$ induced by the natural abelianization. In other words, the {\it Automorphism Group Lifting Problem} has a negative solution. We explore the close connection between the above results and the Jacobian conjecture, and Kontsevich-Belov conjecture, and formulate the Jacobian conjecture for fields of any characteristic.

研究の動機と目的

• 体K上の多項式代数および自由非可換代数の自己同型群の位相的および代数的構造を、Ind-スキームおよびトーリック多様体を用いて分析すること。
• 自己同型群の持ち上げ問題を調査する：自然なアーベル化を用いて、Aut(K[x₁,…,xₙ]) が Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) に埋め込めるか。
• 特に n ≥ 3 の場合に、たんなる自己同型群のInd-スキーム自己同型の構造を確立すること。
• ヤコビアン予想、Kanel-Belov–Kontsevich予想、自己同型群における近似性質との関連を探索すること。
• トーラス作用の線形化可能性および、たんなる設定における自己同型の性質を特定すること。

提案手法

• 多項式代数および自由非可換代数の自己同型群を研究するために、Ind-スキームおよびInd-群の枠組みを用いる。
• 自己同型群の構造を理解するために、近似技法および特異点解析を適用する。
• Bodnarchuk, Kraft, Rips の結果を用いて、原点を固定するたんなる群の自己同型を分析する。
• トーリック多様体および群作用を用いて、K が無限大のとき、Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) 上のTⁿ作用が線形化可能であることを証明する。
• 直接計算および共役作用の議論を用いて、自己同型による単項式像を分析する。
• たんなる自己同型および生成子の構造を活用し、自己同型が内部的または準内部的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 3 のとき、Aut(K[x₁,…,xₙ]) のすべてのInd-スキーム自己同型は内部的か？
• RQ2 Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) のすべてのInd-スキーム自己同型は準内部的か？
• RQ3 自然なアーベル化を用いた自己同型群の持ち上げ問題は解けるか？
• RQ4 K が無限大のとき、Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) 上の任意の有効なTⁿ作用は線形化可能か？
• RQ5 Aut(K⟨x,y,z⟩) の群論的自己同型はすべて準内部的か？

主な発見

• n ≥ 3 のとき、Aut(K[x₁,…,xₙ]) のすべてのInd-スキーム自己同型は内部的である。
• Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) のすべてのInd-スキーム自己同型は準内部的である。
• K が無限大のとき、Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) 上の任意の有効なTⁿ作用は線形化可能である。
• 自己同型群の持ち上げ問題は否定的解を持つ：自然なアーベル化を用いて、Aut(K[x₁,…,xₙ]) は Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩) に埋め込めない。
• たんなる自己同型群 TAut(K⟨x,y,z⟩) の自己同型群は、共役作用およびミラー反自己同型によって生成される。
• これらの結果は、任意の特性においてヤコビアン予想を支持しており、Kanel-Belov–Kontsevich予想とも整合的である。