[논문 리뷰] On trivial zeros of Perrin-Riou's $L$-functions

Denis Benois|ArXiv.org|2009. 06. 16.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 크리스탈린 $p$-adic 표현에 대해 베노아의 일반화된 $γ$-항과 페리에-루아의 $p$-진 $L$-함수 사이의 호환성을 확립한다. 네코바르의 세일머 복합체와 이와사와 이론을 사용하여, $L$-함수가 $s=0$에서 영이 되는 경우, 즉 특수값 공식에서 $γ$-항이 이와사와 $L$-함수의 특수값 공식에 추가 인자로 나타남을 증명한다. 이는 $p$-진 $L$-함수의 맥락에서 $γ$-항의 산술적 의의를 확인한다.

ABSTRACT

In the previous paper we generalized Greenberg's construction of the $\Cal L$-invariant to semistable representations. Here we prove that this construction is compatible with Perrin-Riou's theory of $p$-adic $L$-functions

연구 동기 및 목표

• 베노아의 일반화된 $γ$-항과 페리에-루아의 $p$-진 $L$-함수 사이의 호환성을 확립한다.
• 이와사와 $L$-함수의 특수값에 대한 블로흐-카토 유형 공식에서 $γ$-항이 추가 인자로 나타남을 증명한다.
• 그린버그의 $γ$-항 구성법을 비정상적, 단순형, 크리스탈린 $p$-adic 표현으로 확장한다.
• 이를 통해 $p$-진 $L$-함수의 영점이 0인 경우에 $γ$-항의 산술적 의의를 검증한다.

제안 방법

• 갈로아 코hom로지와 $p$-진 $L$-함수 사이의 관계를 설정하기 위해 네코바르의 세일머 복합체 기계를 사용한다.
• $(\varphi,\Gamma)$-모듈 및 로바 링을 이용하여 $p$-adic 표현의 구조를 분석한다.
• 복합체 $C_{\text{Iw},\psi}^\dag(T)$와 이와사와 코homology 복합체 $\mathbb{R}\Gamma_{\text{Iw}}(K,T)$ 사이의 준동형을 구성한다.
• 페리에-루아의 $p$-진 $L$-함수의 보간을 통해 정의된 이와사와 이론적 $L$-함수 $L_{\text{Iw},h}(T,N,s)$를 적용한다.
• 오일러-포앵카르 라인 $\Delta_{\text{EP}}(V)$와 그 델리뉴 주기 및 $p$-진 주기들을 통한 자명화를 활용한다.
• 등급형 및 단순형 표현 이론을 활용하여, $\mathbb{D}_{\text{cris}}(V)$ 내의 적절한 부분공간 $D\subset$를 통해 $γ$-항을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 영점이 0인 경우, 베노아의 일반화된 $γ$-항은 페리에-루아의 $p$-진 $L$-함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 이와사와 $L$-함수의 특수값 공식에서 $γ$-항의 정확한 산술적 역할은 무엇인가?
• RQ3 $L$-함수가 $s=0$에서 영을 가질 경우, $γ$-항이 블로흐-카토 공식의 수정 인자로 해석될 수 있는가?
• RQ4 비정상적 경우에 $γ$-항은 그린버그의 고전적 $γ$-항과 일치하는가?
• RQ5 $γ$-항은 세일머 복합체와 이와사와 코homology의 구조와 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• $L$-함수가 $s=0$에서 영이 되는 경우, 특수값 공식에서 $γ$-항 $\mathcal{L}(D,V)$는 이와사와 $L$-함수 $L_{\text{Iw},h}(T,N,s)$의 추가 인자로 나타나며, 이는 영의 차수 $e=\dim_{\mathbb{Q}_p}(D^{\varphi=p^{-1}})$와 관련된다.
• 특수값 $L_{\text{Iw},h}^{*}(T,N,0)$은 $\Gamma(h)^{d_{+}(V)}\mathcal{L}(D,V)\,E_p^*(V,1)\,\det_{\mathbb{Q}_p}\left(\frac{1-p^{-1}\varphi^{-1}}{1-\varphi}\big|_{D_{-1}}\right)\Omega_p(\omega_T,\omega_B)i_{\omega_N,\omega_B,p}(\Delta_{\text{EP}}(T))$에 $p$-진 비례하며, 이는 $γ$-항의 산술적 의의를 확인한다.
• 이와사와 이론의 $γ$-항 구성법은 페리에-루아의 이론과 호환되며, 그린버그의 $γ$-항을 비정상적 상황으로 확장한다.
• $γ$-항이 0이 아닐 조건은 이와사와 $L$-함수가 $s=0$에서 영의 차수 $e$를 가지는 것과 동치이며, 주요 항이 명시적으로 $γ$-인자를 포함한다.
• $C_{\text{Iw},\psi}^\dag(T)$와 $\mathbb{R}\Gamma_{\text{Iw}}(K,T)$ 사이의 준동형은 코homological 프레임워크가 $p$-진 $L$-함수 보간과 일관됨을 보장한다.
• 공식은 영점이 존재할 경우 특수값 공식이 $γ$-항에 의해 수정됨을 확인하며, 이는 블로흐-카토 추측을 비정상적 경우로 일반화한다.