[논문 리뷰] On Universal and Fault-Tolerant Quantum Computing

P. Oscar Boykin, Tal Mor외 3명|ArXiv.org|1999. 06. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 29인용 수 88

한 줄 요약

이 논문은 히드로우드 게이트, 단일 큐비트 회전 $\sigma_z^{1/4}$, 그리고 제어-노트 게이트로 구성된 새로운 보편적이고 고장 내성인 양자 게이트 집합을 소개한다. 비유리 회전 각도를 가진 비트리버스한 회전을 통해 이 게이트들이 SU(4)의 조밀한 부분군을 생성함을 증명함으로써, 저자들은 보편성을 확립하면서도 고장 내성을 유지하며, 노이즈가 있는 환경에서 확장 가능한 양자 계산을 위한 최소화되고 물리적으로 실현 가능한 기반을 제공한다.

ABSTRACT

A novel universal and fault-tolerant basis (set of gates) for quantum computation is described. Such a set is necessary to perform quantum computation in a realistic noisy environment. The new basis consists of two single-qubit gates (Hadamard and ${σ_z}^{1/4}$), and one double-qubit gate (Controlled-NOT). Since the set consisting of Controlled-NOT and Hadamard gates is not universal, the new basis achieves universality by including only one additional elementary (in the sense that it does not include angles that are irrational multiples of $π$) single-qubit gate, and hence, is potentially the simplest universal basis that one can construct. We also provide an alternative proof of universality for the only other known class of universal and fault-tolerant basis proposed by Shor and by Kitaev.

연구 동기 및 목표

• 노이즈가 있는 양자 시스템에서 실용적인 구현을 위해 보편적이면서도 고장 내성인 양자 게이트 집합을 개발하는 것.
• 기본 클리포드 집합을 초과하는 유일한 추가 게이트를 포함하여 비기본 게이트의 수를 최소화하는 것.
• 게이트 매개변수에 $\pi$의 비유리 배수를 포함하지 않는 고장 내성 기반의 보편성에 대한 엄밀한 증명을 제공하는 것.
• 양자 게이트 생성과 SU(4) 내 연속적인 회전 군 간의 연결 고리를 설정하여 보편적인 근사화를 가능하게 하는 것.
• 이전에 제안된 고장 내성 기반에 대해 보편성의 대체 증명을 제공함으로써, 고장 내성 양자 계산의 이론적 기반을 강화하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $G = \{ H, \sigma_z^{1/4}, \Lambda_1(\sigma_x) \}$로 정의된 게이트 집합을 제시하며, 여기서 $H$는 히드로우드 게이트이고 $\Lambda_1(\sigma_x)$는 제어-노트 게이트이다.
• 그들은 생성자로부터 세 개의 핵심 유니터리 연산자 $\rho_x, \rho_y, \rho_z$를 구성하며, 이들은 4차원 힐베르트 공간에서의 회전으로 작용한다.
• 특성값 분석을 통해 $\rho_2$와 $\rho_3$의 특성값을 분석함으로써 $e^{i2\pi c} = \frac{1+i\sqrt{15}}{4}$가 단위근이 아니라는 것을 보여주며, 이는 비유리 회전 각도를 의미한다.
• 이 비유리성은 $\rho_2$와 $\rho_3$의 연속적 거듭제곱이 부분공간 내에서 임의의 SU(2)-유사 회전을 조밀하게 근사할 수 있음을 보장한다.
• 기저를 변경하여 이러한 연산자를 복소 위상 $\alpha$와 $\beta$를 가진 회전 행렬로 표현한다. 이 위상 값들 역시 단위근이 아니다.
• 이러한 행렬이 SU(2)의 조밀한 부분군을 생성하며, SU(3)이 SU(2) 연산으로 분해될 수 있음을 이용하여, 게이트 집합이 SU(4)의 조밀한 부분군을 생성함을 증명한다. 따라서 보편성이 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 클리포드 집합 외에 $\sigma_z^{1/4}$라는 비클리포드 게이트 하나만을 사용하여 보편적 양자 게이트 집합을 구성할 수 있는가?
• RQ2 표준 양자 오류 수정 코드 하에서 해당 게이트 집합이 고장 내성인가?
• RQ3 $\sigma_z^{1/4}$가 $\pi$의 비유리 배수로 회전하는 것을 포함함으로써 보편적 양자 계산이 가능한가?
• RQ4 새로운 게이트 집합에 의해 생성된 군이 SU(4) 내 모든 유니터리 연산을 조밀하게 근사할 수 있는가? 이는 보편성을 보장하는가?
• RQ5 생성된 군의 구조는 SU(4) 내 연속적인 회전 부분군과 밀접한 관계가 있으며, 이들의 조밀성과의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 게이트 집합 $\{ H, \sigma_z^{1/4}, \Lambda_1(\sigma_x) \}$는 SU(4)의 조밀한 부분군을 생성함을 증명하여, 양자 계산에 대해 보편적임을 입증하였다.
• $\sigma_z^{1/4}$ 게이트와 관련된 회전 각도는 특성값 $e^{i2\pi c} = \frac{1+i\sqrt{15}}{4}$를 가지며, 이는 단위근이 아니므로 비유리 회전을 보장한다.
• 구성된 연산자 $\rho_2$와 $\rho_3$의 거듭제곱은 2차원 부분공간 내에서 임의의 회전을 근사할 수 있으며, 이는 보편적 근사화를 가능하게 한다.
• 증명은 게이트 집합이 특수유니터리 군 SU(4)의 조밀한 부분집합을 생성함을 보여주며, 보편성 조건을 충족함을 입증한다.
• 저자들은 쇼어와 키타에프가 이전에 제안한 기반에 대해 보편성의 대체 증명을 제공함으로써, 고장 내성 양자 계산의 이론적 기반을 강화한다.
• 비유리 배수의 $\pi$를 게이트 매개변수에 포함하지 않도록 하기 위해 비기본 게이트 $\sigma_z^{1/4}$ 하나만을 사용하는 구성으로, 이는 보편적이고 고장 내성인 기반 중 가장 단순할 수 있다.