[논문 리뷰] On upper bounds of arithmetic degrees

Yohsuke Matsuzawa|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 $\overline{\mathbb{Q}}$ 위의 매끄럽고 사영적인 다양체에서 유리 자기사상에 의한 점의 산술 차수에 대한 상계를 확립한다. 이는 상부 산술 차수 $\overline{\alpha}_f(P)$ 가 첫 번째 동적 차수 $\delta_f$ 에 의해 상한으로 제어됨을 증명한다. Néron-Severi 군 위에서의 높이 함수와 스펙트럴 반경 추정을 사용하여, 이전 연구에서 잘못된 증명이 있었음을 수정하고, Picard 수가 1이고 $\delta_f > 1$ 인 조건 하에서 캐논리컬 높이 함수의 존재를 보이며, 정규화된 높이 극한 $\lim_{n\to\infty} h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ 의 수렴성을 제시한다. 이 결과는 산술 동역학 이론에서 핵심적인 추측을 확인한다: $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$.

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth projective variety over $ \overline{\mathbb Q}$, and $f:X -rightarrow X$ be a dominant rational map. Let $δ_{f}$ be the first dynamical degree of $f$ and $h_{X}:X( \overline{\mathbb Q}) o [1,\infty)$ be a Weil height function on $X$ associated with an ample divisor on $X$. We prove several inequalities which give upper bounds of the sequence $(h_X (f^n(P)))_{n\geq0}$ where $P$ is a point of $X( \overline{\mathbb Q})$ whose forward orbit by $f$ is well-defined. As a corollary, we prove that the upper arithmetic degree is less than or equal to the first dynamical degree; $ \overlineα_{f}(P) \leq δ_{f}$. Furthermore, if the Picard number of $X$ is one, $f$ is algebraically stable and $δ_{f}>1$, we prove that the limit defining canonical height $\lim_{n o \infty} h_{X} (f^{n}(P)) \big/ δ_f^n$ converges.

연구 동기 및 목표

• 유리 자기사상 하에서 점의 상부 산술 차수가 첫 번째 동적 차수에 의해 상한으로 제어됨을 추측하는 문제를 다룬다.
• 이전 연구에서 잘못 증명된 부등식 $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$ 의 올바른 증명을 제공한다.
• 특히 Picard 수가 1이고 $\delta_f > 1$ 인 경우에 대해, 유리 자기사상에 대한 캐논리컬 높이 함수의 존재 조건을 설정한다.
• 정규화된 해석적 차수 이론을 정규화에 의한 분해와 수치 동치 관계를 이용해 양의 특성으로 확장한다.
• Néron-Severi 군 위에서의 스펙트럴 반경과 $L^2$-노름 기법을 사용하여, Weil 높이의 반복에 따른 성장에 대한 엄밀한 추정치를 제공한다.

제안 방법

• 첫 번째 동적 차수 $\delta_f$ 는 $N^1(X)_\mathbb{R}$ 위에서의 역상 작용의 스펙트럴 반경으로 정의되며, 비특이화를 통해 $f^*$ 를 분류에 대해 정의한다.
• 수치적으로 자명한 분할에 대한 높이 추정을 통해 유도된 높이 성장에 대한 재귀 부등식: $c_{n+1} \leq \widetilde{C}n^2 c_0 + C_3 \sqrt{\widetilde{C}n^2 c_0}$.
• 적절한 조건 하에서 $b_{n+1} = b_n + C\sqrt{b_n}$ 를 만족하는 주도 수열 $b_n$ 을 통한 비교 분석으로, $\widetilde{C}n^2 b_0$ 에 의해 유계임을 보인다.
• Néron-Tate 높이 기반 이론을 적용하여, $\delta_f > 1$, Picard 수가 1이고 $f$ 가 대수적으로 안정적일 경우 $h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ 의 수렴성을 보인다.
• 아벨 쌍대의 결과를 통해 수치적으로 자명한 분할의 높이가 앰플한 분할에 대해 유계임을 보이고, 높이 추정의 오차 항을 제어한다.
• 아래의 특성에서의 증명을 수정하기 위해, 대수적으로 자명한 선다발을 당겨오는 아벨 다양체로의 사상의 존재를 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $P \in X_f(\overline{\mathbb{Q}})$ 에 대해 상부 산술 차수 $\overline{\alpha}_f(P)$ 가 $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$ 를 만족하는가?
• RQ2 유리 자기사상에 대해 캐논리컬 높이 $\lim_{n\to\infty} h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ 가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 Kawaguchi-Silverman [13] 에서 잘못된 증명이 있었던 $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$ 를 높이 함수 추정과 스펙트럴 반경 제어를 통해 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ4 대수적 안정성과 Picard 수가 1일 때 $h_X(f^n(P))$ 의 성장이 $\delta_f^n$ 의 상수배로 유계임을 보일 수 있는가?
• RQ5 수치적으로 자명한 분할에 대한 높이 추정은 양의 특성에서 특이 다양체로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 상부 산술 차수 $\overline{\alpha}_f(P)$ 는 첫 번째 동적 차수 $\delta_f$ 에 의해 상한으로 제어되며, 즉 $\overline{\alpha}_f(P) \leq \delta_f$ 이다. 이는 산술 동역학 이론에서 핵심적인 추측을 해결한다.
• Picard 수가 1이고, $f$ 가 대수적으로 안정적이며 $\delta_f > 1$ 일 경우, 캐논리컬 높이 함수 $\lim_{n\to\infty} h_X(f^n(P))/\delta_f^n$ 가 수렴한다.
• 적절한 초기 조건 하에서 $c_n = h_X^+(f^n(P))$ 의 수열에 대해 재귀적 높이 유계: $c_{n+1} \leq \widetilde{C}(n+1)^2 c_0$ 가 확립된다.
• Kawaguchi와 Silverman [13] 의 원래 증명에서의 결함을 주도 수열과 $N^1(X)_\mathbb{R}$ 위에서의 스펙트럴 반경 추정을 사용하여 수정한다.
• 암플한 분할 $H$ 에 대해 수치적으로 자명한 분할과 관련된 높이 함수는 $|h_E| \leq C\sqrt{h_H}$ 를 만족하며, 이는 높이 성장 추정에서 오차 항을 제어한다.
• 양의 특성에서는 아벨 다양체로의 사상이 존재하여 대수적으로 자명한 선다발을 당겨오며, 이로 인해 수치적으로 자명한 분할에 대한 핵심 부등식이 유지된다.