[논문 리뷰] On Using The Two-Way Cluster-Robust Standard Errors

Harold D. Chiang, Yuya Sasaki|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 31.

Spatial and Panel Data Analysis인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 방향 클러스터 로버스트(TWCR) 표준오차의 광범위한 사용에 대한 이론적 근거를 제시한다. 이는 두 방향 클러스터링된 삼각형 배열에 대한 새로운 중심극한정리(central limit theorem)를 수립함으로써 이루어진다. 미묘하고 해석 가능한 조건 하에서—특히 데이터 생성 과정이 오직 몇 개인 평균이 0인 상호작용 요인들로만 구성되지 않는 한—두 방향 클러스터링된 평균의 점근적 분포는 반드시 가우시안임을 보장하며, 이는 대부분의 실증적 설정에서 TWCR 표준오차의 사용을 정당화한다.

ABSTRACT

Thousands of papers have reported two-way cluster-robust (TWCR) standard errors. However, the recent econometrics literature points out the potential non-gaussianity of two-way cluster sample means, and thus invalidity of the inference based on the TWCR standard errors. Fortunately, simulation studies nonetheless show that the gaussianity is rather common than exceptional. This paper provides theoretical support for this encouraging observation. Specifically, we derive a novel central limit theorem for two-way clustered triangular arrays that justifies the use of the TWCR under very mild and interpretable conditions. We, therefore, hope that this paper will provide a theoretical justification for the legitimacy of most, if not all, of the thousands of those empirical papers that have used the TWCR standard errors. We provide a guide in practice as to when a researcher can employ the TWCR standard errors.

연구 동기 및 목표

• 두 방향 클러스터링 하에서 점근적 분포의 비정규성 가능성이 존재할 경우 TWCR 표준오차에 기반한 추론이 무효화될 수 있다는 경제계량학 문헌에서의 우려를 해결하기 위해.
• 수천 편의 논문에 널리 사용되는 TWCR 표준오차의 실증적 관행에 대한 이론적 지원을 제공하기 위해, 특히 기업-시장 또는 네트워크 구조와 같은 다중 방향 의존성이 있는 설정에서.
• 두 방향 클러스터링 추정량의 점근적 정규성이 성립하는 조건을 명확히 하여 연구자가 언제 TWCR 추론에 안전하게 의존할 수 있는지 밝히기 위해.
• 관측되지 않은 랜덤 성분과 이중 표본 구조를 지닌 두 방향 클러스터링 삼각형 배열에 특화된 새로운 중심극한정리를 개발하기 위해.
• 비정규성은 매우 특수하고 병리적인 경우, 즉 적은 수의 상호작용 요인에 의해 발생하며, 실무에서 TWCR의 강건성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 시간이 지남에 따라 클러스터 수가 증가하는 두 방향 클러스터링된 데이터의 점근적 행동을 기술하기 위해 삼각형 배열을 사용하여 데이터 생성 과정을 모델링한다.
• 두 방향 클러스터링 삼각형 배열의 평균에 대한 새로운 중심극한정리(CLT)를 도출하여, 미묘한 모멘트 및 의존성 조건 하에서 점근적 정규성을 확립한다.
• 증명은 헤이드와 브라운(1970)의 마팅게일 중심극한정리에 기반하며, 두 가지 핵심 조건—사차모멘트의 균일 적분 가능성과 조건부 두 번째 모멘트의 분산이 0으로 수렴함—의 확인이 필요하다.
• 분석은 기업 수준, 시장 수준, 상호작용 수준의 오차(a_s, b_s, w_is)를 포함하는 두 방향 클러스터링 합을 분해하고, 조건부 두 번째 모멘트의 분산에 기여하는 항들을 제한한다.
• 저자들은 가정 2에 따라 오차 구조의 尾행동을 통제함으로써, 교차항(예: a_s w_is)의 분산 기여가 점점 사라짐을 보여줌으로써 필요한 조건을 검증한다.
• 핵심 기술적 혁신은 관측되지 않은 커널을 지닌 이중 표본 U-통계량의 구조를 다루는 데 있으며, 이는 기존의 마팅게일 또는 열악한 U-통계량 프레임워크에 기반한 중심극한정리 결과를 직접 적용할 수 없게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 방향 클러스터링된 평균의 점근적 분포가 대략적으로 가우시안이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 두 방향 클러스터링 하에서 점근적 분포의 비정규성은 실증 응용에서 흔한 일상적인 현상인가, 아니면 드문 일인가?
• RQ3 기존 문헌에서 사용된 열악한 U-통계량 프레임워크를 초월하여 두 방향 클러스터 로버스트 표준오차의 이론적 근거를 확장할 수 있는가?
• RQ4 어떤 특정한 데이터 생성 과정이 두 방향 클러스터링 하에서 비정규 점근적 분포를 초래하는가?
• RQ5 기업 수준, 시장 수준, 상호작용 수준의 오차 기여도가 두 방향 클러스터링 추정량의 점근적 정규성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 데이터 생성 과정이 오직 몇 개인 평균이 0인 상호작용 요인들로만 구성되지 않는 한, 매우 미묘하고 해석 가능한 조건 하에서 두 방향 클러스터링된 평균의 점근적 분포는 가우시안이다.
• 비정규성은 이론적으로 가능하지만 매우 드물며, 오직 매우 소수의 주요 상호작용 요인을 지닌 병리적인 경우에만 발생한다.
• 오차 구조의 꼬리 행동을 통제하는 가정 2 하에서 조건부 두 번째 모멘트의 분산은 점점 사라지며, 이는 마팅게일 중심극한정리의 핵심 조건을 충족시킨다.
• 기업 및 시장 효과를 포함하는 교차항(예: a_s w_is)의 기여도는 점점 무시할 수 없게 되며, 이는 한계 분포가 여전히 가우시안임을 보장한다.
• 이론적 프레임워크는 시장 구조, 네트워크, 패널 데이터 설정을 포함한 대부분의 실증 적용에서 TWCR 표준오차의 사용을 정당화한다.
• 이 논문의 중심극한정리 결과는 기존의 열악한 U-통계량 중심극한정리의 특수한 경우가 아니며, 이중 표본 및 관측되지 않은 커널의 구조 때문에 기존 결과를 적용할 수 없고, 마팅게일 차이를 기반으로 한 새로운 증명 전략이 필요하다.