[논문 리뷰] On weak solutions of stochastic differential equations with sharp drift coefficients

Jinlong Wei, Guangying Lv외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $2/q + d/p = 1$ 조건 하에, 임계 리만 공간 $L^p({\bb R}^d)$ 내의 드리프트 계수를 가진 확률미분방정식(SDEs)에 대한 약한 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 이는 드리프트를 시간에 대해 정규화된 부분과 유계 부분으로 분해함으로써 이루어지며, 핵심 기여는 관련 전이 준군에 대해 경로별 유일성과 강한 펠러 성질을 증명한 것으로, 크릴로프와 락너의 결과를 정밀한 정규성 조건으로 갖는 임계 케이스로 확장한 것이다.

ABSTRACT

We extend Krylov and Röckner's result \cite{KR} to the drift coefficients in critical Lebesgue space, and prove the existence and uniqueness of weak solutions for a class of SDEs. To be more precise, let $b: [0,T] imes{\mathbb R}^d ightarrow{\mathbb R}^d$ be Borel measurable, where $T>0$ is arbitrarily fixed. Consider $$X_t=x+\int_0^tb(s,X_s)ds+W_t,\quad t\in[0,T], \, x\in{\mathbb R}^d,$$ where $\{W_t\}_{t\in[0,T]}$ is a $d$-dimensional standard Wiener process. If $b=b_1+b_2$ such that $b_1(T-\cdot)\in\mathcal{C}_q^0((0,T];L^p({\mathbb R}^d))$ with $2/q+d/p=1$ for $p,q\ge1$ and $\|b_1(T-\cdot)\|_{\mathcal{C}_q((0,T];L^p({\mathbb R}^d))}$ is sufficiently small, and that $b_2$ is bounded and Borel measurable, then there exits a unique weak solution to the above equation. Furthermore, we obtain the strong Feller property of the semi-group and existence of density associated with above SDE. Besides, we extend the classical partial differential equations (PDEs) results for $L^q(0,T;L^p({\mathbb R}^d))$ coefficients to $L^\infty_q(0,T;L^p({\mathbb R}^d))$ ones, and derive the Lipschitz regularity for solutions of second order parabolic PDEs (see Lemma 2.1).

연구 동기 및 목표

• 불규칙한 드리프트를 갖는 SDE에 대한 크릴로프와 락너의 결과를 $2/q + d/p = 1$ 인 임계 케이스로 확장하기.
• 드리프트 계수가 임계 리만 공간 $L^p({\bb R}^d)$에 속해 있고 $p,q \geq 1$ 일 때, 약한 해의 존재성과 유일성을 확립하기.
• 관련 마코프 과정의 전이 밀도 존재성과 함께 전이 준군에 대한 강한 펠러 성질을 증명하기.
• 기존의 $L^q(0,T;L^p({\bb R}^d))$ 계수에 대한 고전적 PDE 결과를 공간 $L^\infty_q(0,T;L^p({\bb R}^d))$로 확장하기.

제안 방법

• 드리프트 $b = b_1 + b_2$ 로 분해하며, $\mathcal{I}_T b_1 \in \mathcal{C}_q^0((0,T];L^p({\bb R}^d))$ 이고 노름이 작으며, $b_2$ 는 유계이면서 보렐 측도 가능하다.
• 문제를 분석하기 위해 시간 반전 변환 $\mathcal{I}_T$ 를 적용하여 시간에 대해 정규화된 설정으로 변환한다.
• 크릴로프의 사전 추정과 지르산프의 정리를 활용하여, $\|\mathcal{I}_T b_1\|_{\mathcal{C}_q((0,T];L^p)}$ 의 작을 조건 하에 약한 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 해 흐름의 정규성 증명을 통해 양다리-와타나베 이론을 이용해 경로별 유일성을 확보한다.
• 공간과 시간에서 전이 준군의 연속성 증명을 통해 강한 펠러 성질을 유도한다.
• 미분동형사상으로 전이 핵을 변환하고, 보조정리 4.3의 밀도 적분 가능성 조건을 활용하여 밀도 존재성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리프트 계수가 임계 리만 공간 $L^p({\bb R}^d)$ 에 속하고 $2/q + d/p = 1$ 을 만족할 때, SDE에 대해 약한 해가 존재하고 유일한가?
• RQ2 해당 SDE의 전이 준군에 대해 강한 펠러 성질이 성립하는가?
• RQ3 고전적 PDE 결과 중 $L^q(0,T;L^p({\bb R}^d))$ 계수에 대한 결과를 공간 $L^\infty_q(0,T;L^p({\bb R}^d))$ 로 확장할 수 있는가?
• RQ4 임계 정규성 조건과 시간 반전 드리프트의 작음 조건 하에 경로별 유일성은 달성 가능한가?

주요 결과

• 약한 해는 드리프트 $b = b_1 + b_2$ 에 대해 $\|\mathcal{I}_T b_1\|_{\mathcal{C}_q((0,T];L^p)}$ 가 충분히 작고 $2/q + d/p = 1$ 일 때 존재하고 유일하다.
• SDE와 관련된 전이 준군은 강한 펠러 성질을 가지며, 이는 초기 상태에 대한 전이 확률의 연속성을 의미한다.
• 전이 확률 측도는 거의 모든 시간에서 밀도를 가지며, 이 밀도는 모든 $r \in [1,\infty)$ 에 대해 $L^r$ 적분 가능성을 만족한다.
• 약한 해의 존재성과 유일성은 임계 조건 $2/q + d/p = 1$ 하에서 확립되었으며, 크릴로프와 락너의 결과를 초임계 영역을 넘어서 확장하였다.
• 경로별 유일성은 $\mathcal{I}_T b_1 \in \mathcal{C}_q^0((0,T];L^p({\bb R}^d))$ 일 때 성립하며, 양다리-와타나베 이론에 의해 강한 해 존재를 암시한다.
• 논문은 PDE 정규성 결과를 $L^q(0,T;L^p)$ 에서 $L^\infty_q(0,T;L^p)$ 로 확장하였으며, 2차 파라볼릭 PDE 해에 대해 리프시츠 정규성을 증명하였다.