[논문 리뷰] On $X$-coordinates of Pell equations which are repdigits

Bernadette Faye, Florian Luca|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 12.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 고정된 밑수 $ b \geq 2 $에 대해, 펠 방정식 $ X^2 - dY^2 = 1 $이 두 개의 서로 다른 양의 정수 해를 가지며, 그 해들에서 $ X $-좌표가 밑수 $ b $의 반복자릿수인 비제곱 양의 정수 $ d $는 유한 개 뿐임을 증명한다. 로그의 선형형식에 대한 추정과 타원곡선 방법을 사용하여, 저자들은 명시적인 상한 $ d \leq \exp\left((10b)^{10^{5}}\right) $을 확립하며, 이러한 $ d $는 각 $ b $에 대해 효과적으로 유한하고 계산 가능하다는 것을 보여준다. 본 결과는 이전의 밑수 10 기반 반복자릿수 해에 대한 연구를 일반적인 밑수 $ b $의 자릿수 제약 조건으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $b\ge 2$ be a given integer. In this paper, we show that there only finitely many positive integers $d$ which are not squares, such that the Pell equation $X^2-dY^2=1$ has two positive integer solutions $(X,Y)$ with the property that their $X$-coordinates are base $b$-repdigits. Recall that a base $b$-repdigit is a positive integer all whose digits have the same value when written in base $b$. We also give an upper bound on the largest such $d$ in terms of $b$.

연구 동기 및 목표

• 펠 방정식 $ X^2 - dY^2 = 1 $이 두 개의 서로 다른 양의 정수 해를 가지며, 그 해들에서 $ X $-좌표가 밑수 $ b $의 반복자릿수인 경우가 존재할 수 있는지 판단하는 것.
• 기존의 반복자릿수 해 연구(예: 밑수 10에서의 연구)를 임의의 밑수 $ b \geq 2 $로 확장하여, 이러한 $ d $의 유한성을 증명하는 것.
• 해석적 및代수적 수론 도구를 사용하여, $ b $에만 의존하는 명시적인 상한을 $ d $의 최대값에 대해 확립하는 것.
• 특히 짝수 및 홀수 인덱스 케이스를 별도로 분석함으로써, $ X_n $이 밑수 $ b $의 반복자릿수일 경우의 해 구조를 규명하는 것.

제안 방법

• 짝수 $ n $의 경우, 항등식 $ X_{2n_1} = 2X_{n_1}^2 - 1 $을 사용하여 문제를 타원곡선 위의 정수점으로 환원하고, 바커의 최대 해의 높이에 대한 효과적 추정을 적용한다.
• 홀수 $ n $의 경우, 복소수 및 $ p $-진 로그의 선형형식에 대한 하한 추정, 특히 매트베예프의 정리를 사용하여 $ n $, $ m $, $ d $에 대한 효과적 추정을 도출한다.
• $ p $-진 값과 대수적 수의 로그 높이에 대한 추정을 적용하여, $ b $에 따라 해의 크기를 제어한다.
• 기본 단위 $ \alpha = X_1 + \sqrt{d}Y_1 $를 사용하여 $ X_n = \frac{1}{2} \left( \alpha^n + \alpha^{-n} \right) $라는 항등식을 이용해 $ X_n $을 기본 단위의 거듭제곱과 연결한다.
• $ p $-진 및 로그 추정에서 유도된 부등식 $ m < 2 \times 10^{17} b^6 \log n $을 사용하여 반복자릿수의 자릿수 $ m $을 유계화한다.
• 해의 인덱스 $ n $, 자릿수 $ m $, 그리고 기본 해의 주기 $ \ell $에 대한 추정을 통합하여 $ d < \exp(10^{20} b^{10}) $를 도출하고, 이를 통해 정리 1.1의 최종 상한에 도달한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 밑수 $ b \geq 2 $에 대해, 펠 방정식 $ X^2 - dY^2 = 1 $이 두 개의 서로 다른 양의 정수 해를 가지며, 그 해들에서 $ X $-좌표가 밑수 $ b $의 반복자릿수인 비제곱 $ d $는 얼마나 존재할 수 있는가?
• RQ2 이러한 다중 해가 발생하는 경우에 대해, $ b $에만 의존하는 효과적 상한을 $ d $의 최대값에 대해 확립할 수 있는가?
• RQ3 특히 $ X_n $이 밑수 $ b $의 반복자릿수일 경우, 해 시퀀스의 짝수 및 홀수 인덱스 케이스에서 어떤 구조적 제약 조건이 발생하는가?
• RQ4 기본 단위 $ \alpha = X_1 + \sqrt{d}Y_1 $와 그 거듭제곱의 성질은, 밑수 $ b $에서의 $ X_n $의 자릿수 구조에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ5 논문 [6]의 방법론이 밑수 $ b $의 반복자릿수로 확장될 수 있는 정도는 어느 정도이며, 일반적인 경우를 다루기 위해 어떤 새로운 도구가 필요하는가?

주요 결과

• 임의의 고정된 $ b \geq 2 $에 대해, 펠 방정식 $ X^2 - dY^2 = 1 $이 두 개의 서로 다른 양의 정수 해를 가지며, 그 해들에서 $ X $-좌표가 밑수 $ b $의 반복자릿수인 비제곱 $ d $는 유한 개 뿐이다.
• 명시적인 상한이 확립되었으며, $ d \leq \exp\left((10b)^{10^{5}}\right) $이다. 이 상한은 효과적이며 $ b $에만 의존한다.
• 밑수 $ b $의 반복자릿수의 자릿수 $ m $는 $ m < 10^{20} b^7 $를 만족하며, 해의 인덱스 $ n $은 $ n < 10^{18} b^4 $를 만족한다.
• 짝수 $ n $의 경우, 분석은 타원곡선 위의 정수점 문제로 환원되며, 이러한 점의 높이에 대한 바커의 추정이 해의 크기를 제어하는 데 사용된다.
• 홀수 $ n $의 경우, 증명은 매트베예프의 로그 선형형식에 대한 하한 추정을 기본 단위 $ \alpha $에 적용하여 $ n $과 $ m $에 대한 효과적 추정을 도출하는 데 의존한다.
• 최종적으로 $ d $의 상한은 $ d < b^{2m} $로부터 유도되며, $ m < 10^{20} b^7 $ 이므로 $ d < \exp(10^{20} b^{10}) $임을 도출할 수 있다. 이는 증명 과정에서 점근적 단순화를 거쳐 기존의 $ (10b)^{10^5} $보다 더 날카로운 상한이다.