[논문 리뷰] Online Learning of Quantum States

Scott Aaronson, Xinyi Chen외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 실현 가능 및 비실현 가능 설정 모두에서 예측 오차와 손실을 유한하게 보장하는 양자 상태에 대한 온라인 학습 알고리즘을 제안한다. 볼록 최적화, 양자 후측정(postselection), 순차적 지방-파라메트릭 차원(sequential fat-shattering dimension)을 활용하여, 예측 오차가 ε를 초과하는 횟수가 최대 O(n/ε²)번이며, 손실이 O(L√(nT) log³/²T)만큼 증가함을 증명한다. 이는 고전적 상태 측정 기법보다 크게 향상되었으며, 아론슨(Aaronson)의 PAC-학습 가능성 결과를 온라인 및 적대적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Suppose we have many copies of an unknown $n$-qubit state $ρ$. We measure some copies of $ρ$ using a known two-outcome measurement $E_{1}$, then other copies using a measurement $E_{2}$, and so on. At each stage $t$, we generate a current hypothesis $σ_{t}$ about the state $ρ$, using the outcomes of the previous measurements. We show that it is possible to do this in a way that guarantees that $|\operatorname{Tr}(E_{i} σ_{t}) - \operatorname{Tr}(E_{i}ρ) |$, the error in our prediction for the next measurement, is at least $\varepsilon$ at most $\operatorname{O}\!\left(n / \varepsilon^2 ight) $ times. Even in the "non-realizable" setting---where there could be arbitrary noise in the measurement outcomes---we show how to output hypothesis states that do significantly worse than the best possible states at most $\operatorname{O}\!\left(\sqrt {Tn} ight) $ times on the first $T$ measurements. These results generalize a 2007 theorem by Aaronson on the PAC-learnability of quantum states, to the online and regret-minimization settings. We give three different ways to prove our results---using convex optimization, quantum postselection, and sequential fat-shattering dimension---which have different advantages in terms of parameters and portability.

연구 동기 및 목표

• 양자 상태에 대한 아론슨의 2007년 PAC-학습 가능성 결과를 온라인 및 손실 최소화 설정으로 확장하기.
• 독립 동일분포(i.i.d.) 측정을 가정하지 않고도 적대적 또는 적응형 측정 순서에서 작동하는 학습 알고리즘 설계.
• 측정이 고정된 분포에서 유래하지 않을 경우의 양자 상태 학습 일반화 한계 설정.
• 강건성과 파rameter 유연성을 확보하기 위해 볼록 최적화, 양자 후측정, 순차적 지방-파라메트릭 차원을 포함한 다수의 증명 기법 제공.
• 노이즈가 있거나 임의의 측정 순서가 존재하는 상황에서도, 온라인 양자 상태 학습에서 하위선형 손실을 달성하기.

제안 방법

• 양자 상태 가설 클래스의 복잡도를 기술하기 위해 순차적 지방-파라메트릭 차원을 사용.
• 라크린 등(2015)의 정리 9를 적용하여, 양자 상태의 순차적 지방-파라메트릭 차원에 기반한 손실 한계 유도.
• 시간에 따라 손실을 최소화하는 온라인 학습 전략을 구성하기 위해 볼록 최적화를 활용.
• 기대값이 다른 상태들을 구분하기 위해 필요한 측정 수의 한계를 도출하기 위해 양자 후측정을 활용.
• 측정 순서에 대한 조합적 추론을 통해 실현 가능 케이스에서 O(n/ε²)의 오류 수 한계 유도.
• 기존 온라인 학습 이론과 순차적 지방-파라메트릭 차원을 조합하여 일반 손실 한계 O(L√(nT) log³/²T) 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 상태 학습을 PAC 설정에서 적대적 측정 순서가 존재하는 온라인 학습 모델로 확장할 수 있는가?
• RQ2 비실현 가능 설정에서 온라인 양자 상태 학습의 최적 손실 한계는 무엇인가?
• RQ3 양자 상태의 순차적 지방-파라메트릭 차원을 활용해 온라인 학습에서 일반화 보장을 도출할 수 있는가?
• RQ4 하위선형 손실을 달성하는 계산적으로 효율적인 온라인 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 과거 데이터와의 약한 일致성(consistent)이 온라인 양자 상태 학습에서 일반화를 보장하는 데 충분한가?

주요 결과

• 양자 상태의 순차적 지방-파라메트릭 차원은 O(n/ε²)로 유계이며, 아론슨의 이전 결과를 순차적 설정으로 일반화한다.
• 실현 가능 케이스에서 예측 오차가 ε를 초과하는 횟수는 최대 O(n/ε²)번이며, 이는 오류 수 한계를 확립한다.
• 비실현 가능 케이스에서 손실은 O(L√(nT) log³/²T) 이하로 상한이 설정되며, 여기서 L은 손실 함수의 리프시츠 상수이다.
• 손실 한계는 측정 횟수에 독립적이며, 큐비트 수와 반복 횟수에만 의존한다.
• 측정 순서가 적응적 또는 적대적일 경우에도 분포 가정 없이 결과가 유지된다.
• 볼록 최적화, 양자 후측정, 순차적 지방-파라메트릭 차원이라는 세 가지 서로 다른 증명 기법이 동일한 손실 한계를 도출하여 강건성과 이식 가능성을 입증한다.