[论文解读] Open books for Boothby-Wang bundles, fibered Dehn twists and the mean Euler characteristic

River Chiang, Fan Ding+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文研究了以纤维化德恩扭转的幂为单值(monodromy)的开书(open books)，证明由此产生的接触流形是辛轨道丛(bundled)的博特比-沃朗(Boothby–Wang)轨道丛，其底空间为辛轨道丛。通过使用等变辛同调的平均欧拉示性数，作者们区分了这些流形，并证明了某些纤维化德恩扭转在边界相对意义下不与恒等映射辛同痕，从而提供了一种超越弗洛尔同调(Floer homology)的新不变量障碍。

ABSTRACT

We examine open books with powers of fibered Dehn twists as monodromy. The resulting contact manifolds can be thought of as Boothby-Wang orbibundles over symplectic orbifolds. Using the mean Euler characteristic of equivariant symplectic homology we can distinguish these contact manifolds and hence show that some fibered Dehn twists are not symplectically isotopic to the identity relative to the boundary. This complements results of Biran and Giroux.

研究动机与目标

• 研究由辛填充构造出的接触流形中，纤维化德恩扭转的幂的辛同痕类。
• 在存在 $S^1$-作用的情况下，将对辛单值(monodromy)的理解从标准德恩扭转推广至更一般情形。
• 应用等变辛同调的平均欧拉示性数作为新不变量，以区分由纤维化德恩扭转产生的接触结构。
• 提供一种替代弗洛尔同调方法的途径，以检测纤维化德恩扭转的非平凡性，利用李布(Reeb)轨道动力学与轨道丛结构。

提出的方法

• 构造单值为在具有接触型边界且允许自由 $S^1$-作用的辛流形上的 $N$-重纤维化德恩扭转的开书。
• 将所得的接触流形实现为辛轨道丛上的博特比-沃朗轨道丛，推广比兰(Biran)与吉鲁克斯(Giroux)的构造。
• 利用已知的弗洛尔理论不变性结果，通过李布轨道数据计算等变辛同调的平均欧拉示性数。
• 将平均欧拉示性数用作辛不变量，以区分由不同幂次的纤维化德恩扭转产生的接触结构。
• 应用覆盖空间技巧来提升同痕问题：若纤维化德恩扭转同痕于恒等映射，则其在 $d$-重覆盖上的提升也应同痕于恒等映射。
• 分析提升后的单值映射在同调上的作用，并与标准德恩扭转的已知非同痕结果进行比较，尤其在 $T^*S^n$ 中的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 等变辛同调的平均欧拉示性数能否区分由不同幂次的纤维化德恩扭转产生的接触流形？
• RQ2 在边界上具有 $S^1$-作用的辛流形上，纤维化德恩扭转是否在边界相对意义下辛同痕于恒等映射？
• RQ3 博特比-沃朗丛的轨道丛结构如何影响单值映射的辛同痕类？
• RQ4 当标准弗洛尔同调不直接适用时，覆盖空间方法能否检测到纤维化德恩扭转的非同痕性？
• RQ5 在环境辛流形上需满足何种条件，才能保证纤维化德恩扭转不与恒等映射同痕？

主要发现

• 等变辛同调的平均欧拉示性数是接触流形 $\operatorname{OB}(W, \tau^N)$ 的单射不变量，可区分不同幂次 $N$ 的纤维化德恩扭转。
• 当 $n$ 为偶数且 $N$ 为奇数时，布里施科恩(Brieskorn)流形 $\Sigma(N,2,\ldots,2)$ 的平均欧拉示性数为 $\chi_m = \frac{1}{2}\frac{nN+1}{(n-1)N+2}$，该值关于 $N$ 严格递减，从而证明了不同幂次的分离性。
• 在 $W_d = \mathbb{C}P^n - \nu(H_d^{n-1})$ 上的纤维化德恩扭转，对任意 $d > 1$，在边界相对意义下均不微分同痕于恒等映射，通过将其提升至 $d$-重覆盖 $V_d$ 实现。
• $W_d$ 上纤维化德恩扭转的 $d$-重覆盖在同调上作用非平凡，与同痕于恒等映射矛盾，尤其当 $d > 2$ 时成立；而当 $d=2$ 时，其退化为 $T^*S^n$ 上的标准德恩扭转，已知其不与恒等映射同痕。
• $\operatorname{OB}(W, \tau^N)$ 的构造产生辛轨道丛上的博特比-沃朗轨道丛，推广了比兰与吉鲁克斯的原始开书结构。
• 利用平均欧拉示性数的方法提供了一种基于李布动力学的新途径，作为拉格朗日子弗洛尔同调检测辛单值非平凡性的替代方法。