[논문 리뷰] Open systems dynamics: Simulating master equations in the computer

Carlos Navarrete–Benlloch|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 21.

Quantum Information and Cryptography인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 MATLAB을 사용한 개방 양자 시스템의 수치적 시뮬레이션을 위한 체계적이고 구현 중심의 가이드를 제시한다. 초전도체 형식을 활용한 리우빌리안(superoperator)의 효율적 구현을 중점으로 하며, 두 개의 광학 모드에 결합된 삼준태 캐스케이드 시스템에 대해 적용하여 정상 상태 해를 정확하게 도출하고, 로그 음성도를 통해 양자 얽힘을 정량화한다. 결과적으로, 시스템 간에 약하지만 0이 아닌 얽힘을 관찰하였으며, 특히 캐비티 모드와의 간섭에서 뚜렷한 얽힘 특성이 나타났다.

ABSTRACT

Master equations are probably the most fundamental equations for anyone working in quantum optics in the presence of dissipation. In this context it is then incredibly useful to have efficient ways of coding and simulating such equations in the computer, and in this notes I try to introduce in a comprehensive way how do I do so, focusing on Matlab, but making it general enough so that it can be directly translated to any other language or software of choice. I inherited most of my methods from Juan José García-Ripoll (whose numerical abilities I cannot praise enough), changing them here and there to accommodate them to the way my (fairly limited) numerical brain works, and to connect them as much as possible to how I understand the theory behind them. At present, the notes focus on how to code master equations and find their steady state, but I hope soon I will be able to update them with time evolution methods, including how to deal with time-dependent master equations. During the last 4 years I've tested these methods in various different contexts, including circuit quantum electrodynamics, the laser problem, optical parametric oscillators, and optomechanical systems. Comments and (constructive) criticism are greatly welcome, and will be properly credited and acknowledged.

연구 동기 및 목표

• 개방 양자 시스템에서 마스터 방정식을 수치적으로 해결하기 위한 실용적이고 일반화 가능한 프레임워크를 제공하는 것.
• 초전도체 형식을 활용해 MATLAB에서 리우빌리안 슈퍼오퍼레이터의 구현을 간소화하여 행렬 구성의 효율성을 극대화하는 것.
• 다양한 힐베르트 공간 성분을 포함한 복잡한 양자 시스템에 대해 정상 상태 밀도 행렬을 정확하게 계산할 수 있도록 하는 것.
• 복합 양자 시스템의 다양한 이분할에 대해 양자 얽힘 측정치—특히 로그 음성도—를 평가하는 방법을 보여주는 것.
• 다양한 양자 광학 시스템, 예를 들어 회로 QED 및 옵토메카닉스 설정에 적용 가능한 재현 가능하고 확장 가능한 계산 파이프라인을 제공하는 것.

제안 방법

• 밀도 행렬을 열로 쌓는 방식(벡터화)으로 표현하여 마스터 방정식을 선형 미분방정식계로 변환: $ d\vec{\rho}/dt = \mathbb{L}\vec{\rho} $.
• 초전도체 형식을 사용해 리우빌리안 행렬 $ \mathbb{L} $ 를 구성하여, 연산자 인덱스를 단일 행렬 표현으로 매핑한다.
• 마스터 방정식을 $ \frac{d\hat{\rho}}{dt} = -i[\hat{H},\hat{\rho}] + \Gamma(2\hat{J}\hat{\rho}\hat{J}^\dagger - \hat{J}^\dagger\hat{J}\hat{\rho} - \hat{\rho}\hat{J}^\dagger\hat{J}) $ 의 형태로 구현하며, $ \hat{H} $ 와 $ \hat{J} $ 는 입력 연산자로 제공된다.
• MATLAB의 내장 함수인 `permute`, `reshape`, `eig` 를 활용해 텐서의 구조, 부분 전치, 고유값 분석을 처리하여 얽힘 탐지에 활용한다.
• 부분 전치된 밀도 행렬의 고유값을 통해 로그 음성도를 계산한다: $ E_{\text{LN}} = \log[1 + \sum_n (|\tilde{\lambda}_n| - \tilde{\lambda}_n)] $, 이를 통해 얽힘을 정량화한다.
• 적절한 부분공간에서 항등행렬을 사용한 행렬 곱셈을 통해 부분공간을 추적하여 이분형 얽힘 분석을 위한 감소된 밀도 행렬을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 일반적인 프로그래밍 언어인 MATLAB에서 임의의 개방 양자 시스템에 대해 리우빌리안 슈퍼오퍼레이터를 효율적이고 시스템적으로 구현하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 초전도체 형식을 활용해 밀도 행렬과 그 진화를 벡터화된 형태로 표현하고 조작하는 데 가장 효과적인 방법은 무엇인가?
• RQ3 다양한 힐베르트 공간 성분을 포함한 복합 양자 시스템에 대해 마스터 방정식의 정상 상태 해를 정확하게 계산하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 삼중준태 캐스케이드 시스템을 두 개의 광학 모드에 결합할 경우, 어떤 정도의 얽힘을 유도하며, 이는 다양한 이분할에 어떻게 분포하는가?
• RQ5 혼합 상태의 다체 양자 시스템에서 로그 음성도와 같은 얽힘 측정치를 신뢰성 있게 계산하기 위한 수치 기법은 무엇인가?

주요 결과

• 초전도체 형식은 리우빌리안 행렬을 최소한의 코드 복잡도로 직접적이고 가독성 있고 효율적으로 MATLAB에 구현할 수 있도록 한다.
• 강한 외부 조절 조건 하에서도 캐비티 모드의 정상 상태 인구는 그 무력 상태 값($ |\alpha|^2 = 400 $, $ |\beta|^2 = 25 $)과 유사하게 유지되어 약한 결합 효과를 나타낸다.
• 로그 음성도 값은 다음과 같이 계산되었다: $ 0.00259 - 1.06 \times 10^{-16}i $ (시스템 + 캐비티), $ 2.03 \times 10^{-7} - 9.71 \times 10^{-17}i $ (캐비티만), $ 0.00180 - 1.28 \times 10^{-16}i $ (시스템 + a 모드), $ 9.20 \times 10^{-5} - 1.50 \times 10^{-17}i $ (시스템 + b 모드).
• 가장 큰 얽힘은 $ \Xi $ 시스템과 캐비티 모드를 함께 고려했을 때 관찰되었으며, 두 캐비티 모드 간의 얽힘은 무시할 만큼 작다.
• $ \Xi $ 시스템과 a-모드 간의 얽힘은 b-모드와 비교해 뚜렷이 강력하여 비대칭 결합 효과가 나타난다.
• 모든 계산된 로그 음성도 값은 작지만 0이 아니며, 모든 이분할에서 약하지만 비자명한 얽힘 존재를 확인한다.