[논문 리뷰] Opening the Black Box Inside Grover's Algorithm

E. Miles Stoudenmire, Xavier Waintal|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 12

한 줄 요약

저자는 Grover의 탐색을 O(log N) 오라클 호출로 해결하는 양자에서 영감을 받은 고전 알고리즘(QiGA)을 구성하고, 3-SAT에 대해 이를 명시적으로 보이며, Grover의 알고리즘이 얽힘과 노이즈 스케일링으로 인해 실용적인 양자 이점을 제공하지 않는다고 주장한다.

ABSTRACT

Grover's algorithm is a primary algorithm offered as evidence that quantum computers can provide an advantage over classical computers. It involves an "oracle" specified for a given application whose structure is not part of the formal scaling of the quadratic speedup guaranteed by the algorithm. Grover's algorithm also requires exponentially many calls to the quantum oracle to succeed (about $\sqrt{2^n}$ calls for $n$ qubits), raising the question of its implementation on both noisy and error-corrected quantum computers. In this work, we construct a quantum-inspired algorithm, executable on a classical computer, that performs Grover's task in a linear number of calls to (simulations of) the oracle - an exponentially smaller number than Grover's algorithm - and demonstrate this algorithm explicitly for Boolean satisfiability problems. The complexity of our algorithm depends on the cost to simulate the oracle once which may or may not be exponential. Indeed, Grover's algorithm does not have an a priori quantum speedup as soon as one is given access to the "source code" of the oracle. Our findings illustrate this point explicitly as our algorithm exploits the structure of the quantum circuit used to program the quantum computer to speed up the search. There remain problems where Grover's algorithm would provide an asymptotic speedup if it could be run accurately for large enough sizes. Our quantum-inspired algorithm provides lower bounds, in terms of circuit complexity, for quantum hardware to beat classical approaches for these problems. These estimates, combined with the unfavorable scaling of the success probability of Grover's algorithm - which in the presence of noise decays as a double exponential in the number of qubits - makes a practical speedup unrealistic even under extremely optimistic assumptions of the evolution of both hardware quality and availability.

연구 동기 및 목표

• Grover의 알고리즘이 실제로 양자 속도 향상을 제공하는지에 대한 질문을 제기한다.
• Grover의 오라클을 훨씬 적은 호출로 흉내 내는 양자에서 영감을 받은 고전 알고리즘을 개발한다.
• 실용적 함의를 설명하기 위해 3-SAT 인스턴스에서 접근 방식을 명시적으로 시연한다.
• 얽힘과 잡음이 Grover 기반 양자 이점을 제한하는 역할을 분석한다.

제안 방법

• Grover의 오라클을 랭크-2 매트릭스 곱 연산자(MPO)로 표현한다.
• 오라클 이후 상태를 랭크-2 매트릭스 곱 상태(MPS)로 구성하고 초기 중첩을 빼서 해법을 추출한다.
• 텐서 네트워크 기법과 텐서 크로스 보간법을 사용하여 소수의 진폭으로부터 오라클 이후 상태의 MPS를 구성한다.
• 호의적으로 조건이 만족될 때 QiGA에서 한 번의 오라클 호출로 Grover의 탐색을 완성할 수 있음을 보인다.
• 무작위 및 준 일차원 3-SAT 인스턴스에서 접근 방식을 시연하여 얽힘과 실행 시간을 측정한다.

Figure 1: Schematic showing the main implications of our quantum-inspired Grover’s algorithm (QiGA) for the possibility of Grover’s algorithm offering a genuine quantum advantage.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래식 알고리즘이 Grover의 오라클의 내부 구조를 활용하여 표준 √N 오라클 호출 수를 능가할 수 있는가?
• RQ2 Grover 회로 내 얽힘 장벽이 양자 이점의 실용성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 3-SAT 같은 NP-완전 문제에 대해 텐서 네트워크를 통해 오라클 이후 상태를 효율적으로 구성하는 것이 가능한가?
• RQ4 현장 근접 양자 하드웨어에서 구현될 때 Grover 알고리즘에 대한 잡음의 함의는 무엇인가?

주요 결과

n	S	χ_max	시간
30	4	467	21 s
32	2	954	1.8 minutes
34	48	1162	3.2 minutes
36	16	1994	8.3 minutes
38	8	5867	1.6 hours
40	0	1402	4.2 minutes
40	28	2926	21 minutes
40	161	5690	1.65 hours
40	174	10374	6.5 hours

• QiGA는 제시된 프레임워크에서 고전 컴퓨터로 Grover의 작업을 최대 O(log N) 오라클 호출로 달성한다.
• 오라클 이후 상태 |Psi_w angle는 결합 차원 1+S(또는 여러 해답의 경우 S+1)의 MPS로, 고전적으로 해법을 효율적으로 추출할 수 있다.
• Grover 알고리즘 내 얽힘 장벽은 반복 간에 제한적이며(최대 엔트로피 ~ log 2), 내부 오라클 얽힘은 회로 깊이와 문제 인스턴스에 의존한다.
• 잡음은 게이트 수의 지수에 대한 지수 함수로 성공 확률이 감소하게 만들어, 근접 근사 양자 이점 주장을 약화시킨다.
• 3-SAT 인스턴스의 경우 저자들은 O_C MPO로 오라클을 명시적으로 구성하고 n=40 큐비트까지 시뮬레이션했으며 최종 MPS 차수는 수천에 이른다.
• 양자 이점의 존재 여부는 오라클의 회로 구조와 깊이에 의존하며, 이는 P 대 NP의 논의가 오라클의 얽힘 스케일링과 관련이 있음을 시사한다.

Figure 2: Entanglement entropy, in units of $\log(2)$ , of the quantum state during a simulation of Grover’s algorithm for $n=10$ qubits for the optimal number $r=25$ of iterations. Substeps between each complete iteration show the properties of the state after each layer of the quantum circuits des