[论文解读] Operads, configuration spaces and quantization

Sergei Merkulov|arXiv (Cornell University)|May 19, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文在具有角的光滑流形范畴中构建了紧化配置空间的新操作代数，其基本链复形实现了已知的同伦代数操作代数，包括 $A_∞$-和 $L_∞$-代数及其同伦态射的2-色操作代数，以及开-闭同伦代数（OCHA）的4-色操作代数。通过在这些配置空间上引入费曼图操作代数和德拉姆场论，作者基于传播子选择构造了费曼型求和的量化表示，从而实现了形变量化和形式性映射的几何实现。

ABSTRACT

We review several well-known operads of compactified configuration spaces and construct several new such operads, C, in the category of smooth manifolds with corners whose complexes of fundamental chains give us (i) the 2-coloured operad of A-infinity algebras and their homotopy morphisms, (ii) the 2-coloured operad of L-infinity algebras and their homotopy morphisms, and (iii) the 4-coloured operad of open-closed homotopy algebras and their homotopy morphisms. Two gadgets - a (coloured) operad of Feynman graphs and a de Rham field theory on C - are introduced and used to construct quantized representations of the (fundamental) chain operad of C which are given by Feynman type sums over graphs and depend on choices of propagators.

研究动机与目标

• 在具有角的光滑流形范畴中构建紧化配置空间的新操作代数，其基本链复形实现已知的同伦代数操作代数。
• 通过实直线上和上半平面中的配置空间，为 $A_\infty$-和 $L_\infty$-代数及其同伦态射的2-色操作代数提供几何模型。
• 通过上半平面中的配置空间，将这些模型扩展为开-闭同伦代数（OCHA）的4-色操作代数。
• 引入费曼图操作代数及其着色变体 $\mathfrak{G}^{\uparrow\downarrow}$、$\mathfrak{G}^{\uparrow}$、$\mathfrak{G}^{\downarrow}$，以建模同伦代数之间的态射。
• 在配置空间上定义德拉姆场论，通过完成张量积的德拉姆代数构造，实现链操作代数的量化表示，其方法为依赖传播子的费曼型求和。

提出的方法

• 在上半平面中构造紧化配置空间 $\overline{C}_{n,m}(\mathbb{H})$ 和 $\widehat{\mathfrak{C}}_{n,m}(\mathbb{H})$，作为具有角的光滑流形，推广了 Fulton-MacPherson 和 Kontsevich 的紧化构造。
• 通过显式图册和等价构造，为这些配置空间赋予光滑（或半代数）结构，确保与边界层和定向的一致性。
• 引入费曼图操作代数 $\mathfrak{G}$ 及其着色变体 $\mathfrak{G}^{\uparrow\downarrow}$、$\mathfrak{G}^{\uparrow}$、$\mathfrak{G}^{\downarrow}$，以建模同伦代数之间的态射。
• 通过 $\overline{C}(\mathbb{R}^d)$ 上的德拉姆场论，利用德拉姆代数的完成张量积，构造链操作代数的表示，其方法为在配置空间上积分。
• 通过在费曼图上求和，利用由传播子（如齐次体积形式和 Kontsevich (反)传播子）确定的振幅，构造链操作代数的量化表示。
• 利用所得场论，实现结合代数的形变量化和舒陶滕括号的形变量化，并构造 $L_\infty$-代数的形式性映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用实直线和上半平面上的紧化配置空间，为 $A_\infty$-和 $L_\infty$-代数及其态射的操作代数构建几何模型？
• RQ2 能否将开-闭同伦代数（OCHA）的4-色操作代数实现为上半平面上配置空间的基本链复形？
• RQ3 如何利用费曼图操作代数建模 $A_\infty$、$L_\infty$ 和 OCHA 代数之间的同伦态射？
• RQ4 传播子在通过德拉姆场论构造链操作代数的量化表示中起什么作用？
• RQ5 在配置空间上的德拉姆场论能否重现形变量化和形式性定理中的已知结果？

主要发现

• 紧化配置空间 $\overline{C}_{\bullet}(\mathbb{R})$ 的基本链复形实现了 $A_\infty$-代数及其同伦态射的2-色操作代数。
• 上半平面中 $\overline{C}_{\bullet,\bullet}(\mathbb{H})$ 的基本链复形实现了开-闭同伦代数（OCHA）及其同伦态射的4-色操作代数。
• 上半平面中 $\widehat{\mathfrak{C}}_{\bullet,0}(\mathbb{H})$ 的基本链复形实现了 $L_\infty$-代数及其同伦态射的2-色操作代数。
• 在 $\overline{C}(\mathbb{R}^d)$ 上的德拉姆场论通过微分形式的积分，实现链操作代数的表示，进而通过费曼型求和得到量化表示。
• 该构造通过传播子（如球面上的齐次体积形式和 Kontsevich (反)传播子）重现了 Kontsevich 的形式性映射和舒陶滕括号的形变量化。
• 本文提供了 $\mathcal{O}C_\infty$ 操作代数的几何实现，即 $\overline{C}(\mathbb{H})$ 的基本链复形，确认了其在开-闭同伦代数理论中的作用。