[논문 리뷰] Operator content of real-space entanglement spectra at conformal critical points

Andreas M. Läuchli|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 04.

Crystallography and Radiation Phenomena참고 문헌 4인용 수 43

한 줄 요약

이 논문은 1차원 양자 다체계에서 conformal 임계점에 있을 때, 낮은 에너지 준위의 얽힘 스펙트럼이 경계 conformal field theory (CFT)의 에너지 스펙트럼과 대응됨을 수치적으로 입증한다. 자유 경계 조건을 가진 경계 CFT의 $\hat{L}_0$ 스펙트럼과 얽힘 스펙트럼을 식별함으로써, 얽힘 엔트로피를 통한 중심적 기여도를 넘어서, 기저 CFT의 콪팩티피케이션 반경과 연산자 구성 요소를 직접적으로 얽힘 스펙트럼에서 추출할 수 있는 방법을 제공한다.

ABSTRACT

We provide numerical evidence that the low-lying part of the entanglement spectrum of a real-space block (i.e. a single interval) of a one-dimensional quantum many body system at a conformal critical point corresponds to the energy spectrum of a boundary conformal field theory (CFT). This correspondence allows to uncover a subset of the operator content of a conformal field theory by inspection of the entanglement spectrum of a single wave function, thus providing important information on a CFT beyond its central charge. As a practical application we show that for many systems described by a compactified boson CFT, one can infer the compactification radius (governing e.g. the power law decay of correlation functions) of the theory in a simple way based on the entanglement spectrum.

연구 동기 및 목표

• 1D 실공간 블록의 낮은 에너지 준위 얽힘 스펙트럼과 conformal 임계점에서 경계 CFT의 에너지 스펙트럼 간의 대응 관계를 확립하기 위해.
• 얽힘 스펙트럼이 중심 기여도 이외에도 기저 CFT의 연산자 구성 요소와 콱팩티피케이션 반경을 포함하여 더 많은 정보를 담고 있음을 보여주기 위해.
• 단일 파동함수의 얽힘 스펙트럼만을 사용하여 $c=1$ CFT에서 Luttinger 액체 파라미터와 콱팩티피케이션 반경을 결정하는 실용적인 방법을 제공하기 위해.
• 얽힘 컷에서의 경계 조건이 효과적인 경계 CFT에서 자유 경계 조건에 해당됨을 밝혀내기 위해.
• DMRG 및 행렬 곱 상태 방법에서 얽힘 스펙트럼의 진단 능력을 향상시키기 위해, 이를 전체 CFT 연산자 구성 요소와 연결하기 위해.

제안 방법

• 1차원 양자 격자 모델에서 conformal 임계점에 있는 실공간 블록의 감소 밀도 행렬의 수치적 대각화.
• 열린 및 주기적 경계 조건을 가진 밀도 행렬 최적화(DMRG) 시뮬레이션을 통해 얽힘 스펙트럼을 계산하기 위해 사용.
• 특히 정수 분할 함수 $p(l)$와 일치하는 디세너지 패tern을 드러내기 위해 얽힘 스펙트럼을 재스케일링.
• 얽힘 스펙트럼을 경계 CFT의 에너지 수준과 비교하여 스케일링 차원을 통해 주요 필드와 Virasoro 타워를 식별하기 위해.
• 입자 수 변동성과 준위 간격 분석을 통해 비율 $\eta = \Delta\xi(0,\pm1)/\Delta\xi(0,0)$ 를 통해 콱팩티피케이션 반경 $R$ 을 추출하기 위해.
• OBC 및 PBC 설정에서 동일한 연산자 구성 요소를 관찰함으로써, 얽힘 스펙트럼을 자유 경계 조건을 가진 경계 CFT의 $\hat{L}_0$ 스펙트럼으로 매핑하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 양자 시스템에서 conformal 임계점에 있는 실공간 블록의 낮은 에너지 준위 얽힘 스펙트럼은 경계 CFT의 에너지 스펙트럼으로 해석될 수 있는가?
• RQ2 얽힘 스펙트럼과 기저 CFT의 연산자 구성 요소(예: 주요 필드 및 스케일링 차원) 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 예를 들어 압축된 보존 CFT인 $c=1$ CFT의 콱팩티피케이션 반경은 직접적으로 얽힘 스펙트럼에서 추출할 수 있는가?
• RQ4 얽힘 컷에서의 다양한 경계 조건은 얽힘 스펙트럼의 연산자 구성 요소에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 얽힘 스펙트럼은 중심 기여도 이외에 Luttinger 액체 파라미터와 같은 정보를 어느 정도 제공하는가?

주요 결과

• 1D 임계 시스템에서 실공간 블록의 낮은 에너지 준위 얽힘 스펙트럼은 자유 경계 조건을 가진 경계 CFT의 에너지 스펙트럼과 대응된다.
• 얽힘 스펙트럼의 디세너지 구조는 정수 분할 수 $p(l)$ 와 일치하여 Virasoro 타워 존재를 확인한다.
• Bose-Hubbard 모델에서 $n=1$ 일 때, 비율 $\eta = \Delta\xi(0,\pm1)/\Delta\xi(0,0)$ 를 통해 얽힘 스펙트럼에서 콱팩티피케이션 반경 $R$ 이 추출되며, 임계점에서 $\eta = 1/2$ 를 기록한다.
• 얽힘 스펙트럼은 CFT의 연산자 구성 요소를 드러낸다: Bose-Hubbard 모델의 경우, 스펙트럼은 주요 필드 $0$, $1/2$, $1$ 을 가진 $\mathcal{M}_2$ 최소 모델과 일치한다.
• 세 상태 Potts 모델에서 $c=4/5$ 일 때, 얽힘 스펙트럼은 주요 필드 구성 $0 \oplus (2 \times 2/3) \oplus 3$ 을 가진 $\mathcal{M}_5$ 최소 모델과 일치하며, 자유 경계 조건과 일치한다.
• 시뮬레이션에서 경계 조건을 변경함(예: 가장자리에 국소 필드 도입)으로써, 얽힘 스펙트럼의 연산자 구성 요소가 변화하며, 이는 자유 경계 조건 외의 경계 조건(예: $1/8 \oplus 13/8$ 또는 $1/40 \oplus 21/40$)에 대한 경계 CFT 예측과 일치한다.