[논문 리뷰] Optimal control of a phase field system of Caginalp type with fractional operators

Pierluigi Colli, Gianni Gilardi외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럴 의미에서 분수계 미분 연산자를 갖는 Caginalp 유형의 단상계수계에 대한 분산 최적 제어를 연구한다. 제어-상태 사상의 프레셰 미분 가능성을 확립하고, 쌍대 시스템과 변분부등식을 통해 1차 필요 최적성 조건을 유도함으로써, 비보존적이고 비정온적인 상전이에 분수확산을 적용하는 데 이론적 기초를 제공한다.

ABSTRACT

In their recent work ``Well-posedness, regularity and asymptotic analyses for a fractional phase field system'' (Asymptot. Anal. 114 (2019), 93--128), two of the present authors have studied phase field systems of Caginalp type, which model nonconserved, nonisothermal phase transitions and in which the occurring diffusional operators are given by fractional versions in the spectral sense of unbounded, monotone, selfadjoint, linear operators having compact resolvents. In this paper, we complement this analysis by investigating distributed optimal control problems for such systems. It is shown that the associated control-to-state operator is Fréchet differentiable between suitable Banach spaces, and meaningful first-order necessary optimality conditions are derived in terms of a variational inequality and the associated adjoint state variables.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럴 의미에서 분수계 미분 연산자를 갖는 Caginalp 단상계수계에 대한 최적 제어 문제를 다루는 것.
• 기존의 분수계 단상계수계에 대한 잘 정의됨과 정칙성 결과를 최적 제어 설정으로 확장하는 것.
• 상태 및 제어 제약 조건이 있는 트래킹 유형의 비용 함수에 대해 1차 필요 최적성 조건을 유도하는 것.
• 적절한 바나흐 공간 간의 제어-상태 연산자의 프레셰 미분 가능성을 확립하는 것.
• 쌍대 시스템과 쌍대 변수를 포함한 변분부등식을 통해 최적 제어를 특성화하는 것.

제안 방법

• 비유계, 자기수반, 단조인 연산자의 분수거듭제곱을 갖는 Caginalup 유형의 단상계수계에 대한 분산 최적 제어 문제를 수립한다.
• 상태 및 제어에 대한 계수를 갖는 트래킹 유형의 비용 함수를 사용하고, 제어에 대해 상자 제약 조건을 $ u \in U_{\text{ad}} $ 를 통해 도입한다.
• 제어-상태 연산자를 사용하여 제어를 상태 시스템의 해로 매핑하고, 그 프레셰 미분 가능성을 증명한다.
• 시간에 따라 거꾸로 향하는 쌍대 시스템을 유도하며, 이는 이중 변수 $ q $, $ p $ 와 라그랑주 승수 $ \Lambda $ 를 포함한다.
• 쌍대 변수와 제어를 포함한 변분부등식을 통해 1차 최적성 조건을 확립한다.
• 소볼레프 공간과 르베그 공간에서의 컴팩턴스 및 약수렴 논증을 사용하여 정규화된 문제에서 극한을 취한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럴 의미에서 분수계 미분 연산자를 갖는 Caginalup 단상계수계에 대한 최적 제어는 어떻게 수립할 수 있는가?
• RQ2 상태 및 제어 제약 조건이 있는 이러한 제어 문제에 대해 1차 필요 최적성 조건은 무엇인가?
• RQ3 분수선형 연산자의 맥락에서 제어-상태 사상은 프레셰 미분 가능한가?
• RQ4 쌍대 변수와 변분부등식은 최적 제어를 어떻게 특성화하는가?
• RQ5 정규화된 문제의 극한에서 최적성 시스템을 유도할 수 있는가? 그리고 원래 시스템으로 수렴하는가?

주요 결과

• 분수계 Caginalup 시스템과 관련된 제어-상태 연산자는 적절한 바나흐 공간 간에서 프레셰 미분 가능하다.
• 쌍대 상태 변수를 포함한 변분부등식 형태로 1차 필요 최적성 조건이 도출된다.
• 쌍대 시스템은 $ q $ 에 대한 역행 방정식, $ p $ 에 대한 상태 방정식, 그리고 라그랑주 승수 $ \Lambda $ 를 포함한 변분부등식으로 구성된다.
• 최적 제어는 모든 허용 가능한 제어 $ \bar{u} \in U_{\text{ad}} $ 에 대해 $ \int_Q (q + \beta_5 u)(u - \bar{u}) \geq 0 $ 의 변분부등식을 만족한다.
• 적절한 함수 공간에서 약수렴 및 강수렴을 통해 정규화된 해의 수렴성을 확립하였으며, 이는 극한이 최적성 시스템을 만족함을 보장한다.
• 이중우물 포텐셜에 대한 표준 가정(정규, 로그, 또는 이중장애)을 만족하며, 비미분가능한 경우의 부분도함수를 적절히 다룰 수 있다.