[논문 리뷰] Optimal investment with time-varying stochastic endowments

Christoph Belak, An Chen외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 24.

Financial Markets and Investment Strategies인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 동적 프로그래밍과 점성해법을 사용하여 비완전 시장에서 시간에 따라 변하는 확률적 소득을 고려한 최적 투자 문제를 다룬다. 차원 감소를 통해 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식의 값 함수가 고전적 해임을 증명하고, 최적 전략을 도출하며, 높은 상관관계 하에서도 점차적으로 전략이 Merton 비율로 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper considers a utility maximization and optimal asset allocation problem in the presence of a stochastic endowment that cannot be fully hedged through trading in the financial market. After studying continuity properties of the value function for general utility functions, we rely on the dynamic programming approach to solve the optimization problem for power utility investors including the empirically relevant and mathematically challenging case of relative risk aversion larger than one. For this, we argue that the value function is the unique viscosity solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation. The homogeneity of the value function is then used to reduce the HJB equation by one dimension, which allows us to prove that the value function is even a classical solution thereof. Using this, an optimal strategy is derived and its asymptotic behavior in the large wealth regime is discussed.

연구 동기 및 목표

• 투자자가 시간에 따라 확률적이고 헤지할 수 없는 소득을 수령할 때 최적 자산 배분을 모델링하기 위해.
• 거래 자산와의 상관관계가 완전히 일치하지 않는 소득 리스크가 존재하는 비완전 시장 문제를 다루기 위해.
• 원래의 Merton 문제를 시간에 따라 변하는 확률적 소득을 포함한 프리미엄 HJB 접근법으로 확장하기 위해.
• 점성해법 이론과 차원 감소를 통해 값 함수가 고전적 해임을 엄밀히 증명하기 위해.
• 자산 가치 대 소득 비율이 증가함에 따라 최적 전략의 점근적 행동을 기술하기 위해.

제안 방법

• 유한한 시간 범위 내에서 시간에 따라 변화하는 기하 Brown 운동을 사용하여 확률적 소득을 수학적으로 기술하고, 유틸리티 최적화 문제를 수립한다.
• 동적 프로그래밍 원리를 적용하여 값 함수에 대한 해밀턴-자코비-벨리만(HJB) 방정식을 유도한다.
• 점성해법 이론을 활용하여 값 함수의 유일성과 연속성을 확보한다.
• 값 함수의 동차성을 활용하여 HJB 방정식의 차원을 한 개 감소시켜, 균일 타원형의 포물형 편미분방정식을 도출한다.
• 감소된 값 함수가 고전적 해임을 증명하고, 이에 기반해 최적 전략을 명시적으로 구성할 수 있음을 보인다.
• 최적 전략을 피드백 형태로 구성하고, 자산 SDE의 국소 리프시츠 계수 조건이 만족되지 않더라도 그 유일성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 소득이 존재할 때, 값 함수가 HJB 방정식의 고전적 해가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 자산 가치 대 소득 비율이 무한대에 접근함에 따라 최적 투자 전략은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 소득 리스크가 위험 자산과 상관관계가 있을 때, 최적 전략이 여전히 Merton 비율로 수렴할 수 있는가?
• RQ4 소득과 주식 수익률 간 상관관계가 최적 주식 할당에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 최적 전략이 Merton 비율과 일치하는 매개변수 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 값 함수는 HJB 방정정의 유일한 연속 점성해이며, 정규성 조건 하에서 차원 감소 후 고전적 해가 된다.
• 최적 전략은 관련 SDE의 계수들이 전역 리프시츠 조건을 만족하지 않더라도 피드백 형태로 유일하게 표현될 수 있다.
• 자산 가치 대 소득 비율이 증가함에 따라 최적 전략은 소득 리스크의 존재 여부에 관계없이 항상 Merton 비율로 수렴한다.
• 소득 수익률과 위험 자산 수익률 간 상관계수가 높을 경우, 최적 전략은 Merton 비율 이하가 될 수 있으며, 이는 헤지 수요를 반영한다.
• 비율 ρ*가 존재하여, ρ > ρ* 이면 최적 전략은 엄밀히 Merton 비율 이하이고, ρ < ρ* 이면 엄밀히 이하를 초과한다.
• 비율 ρ* = (μ−r)/(σσC(1−γ)) 는 최적 전략이 Merton 비율과 일치하는 시점이며, 이는 위험 회피 성향과 시장 매개변수에 따라 결정된다.