[논문 리뷰] Optimal leverage trajectories in presence of market impact

Francesco Caravelli, Lorenzo Sindoni외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 17.

Stochastic processes and financial applications인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비선형 드리프트와 곱셈 노이즈를 갖는 확률적 과정을 통해 포트폴리오 청산 가치를 모델링하여 시장 영향을 고려한 동적 포트폴리오 관리에 켈리 기준을 확장한다. 거래 비용이 존재하는 현실의 시장 환경을 반영하기 위해 마크토마켓 가격이 아닌 청산 현금흐름을 포트폴리오 가치로 모델링하며, 거래량-가격 영향 함수로 거래 비용이 거듭 제곱법과 로그함수 형태로 나타나는 경우에 대해 최적의 레버리지 궤적을 유도한다. 그 결과, 거래로 인한 가격 악영향으로 인해 최적의 레버리지가 시간이 지남에 따라 감소하는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

We consider the problem of finding investment strategies that maximize the average growth-rate of the capital of an investor. This is usually achieved through the so-called Kelly criterion, which in a dynamic setting where investment decisions are adjusted over time, prescribes a constant optimal fraction of capital that should be re-invested at each time, i.e. the investor's optimal leverage. We generalize this problem by accounting for the effects of market impact, that is the fact that prices respond to trading activity. In particular, we assume that the value of an investment portfolio should be measured in terms of the cash-flow that can be generated by liquidating the portfolio, rather than by its mark-to-market value. We formulate the problem in terms of a stochastic process with multiplicative noise and a non-linear drift term that is determined by the specific functional form of market-impact. We solve the stochastic equation for two classes of market-impact functions (power laws and logarithmic), and in both cases we compute optimal leverage trajectories. We further test numerically the validity of our analytical result.

연구 동기 및 목표

• 시장 영향 효과를 통합하여 켈리 기준을 동적 포트폴리오 최적화에 확장하기.
• 마크토마켓 가격이 아닌 청산을 통한 현금흐름을 포트폴리오 가치로 모델링하여 현실 세계의 거래비용을 반영하기.
• 시장 영향 함수에 의해 결정되는 비선형 드리프트와 곱셈 노이즈를 갖는 확률적 과정으로 투자 문제를 수립하기.
• 제곱법 및 로그함수 형태의 두 유형의 시장 영향 함수에 대해 최적의 레버리지 궤적을 해석적으로 유도하기.
• 유도된 레버리지 궤적의 수치 시뮬레이션을 통해 분석 결과의 타당성 검증하기.

제안 방법

• 곱셈 노이즈와 비선형 드리프트 항을 갖는 확률적 미분 방정식을 사용하여 포트폴리오 성장 문제를 수립한다.
• 거래량-가격 영향 함수의 형태로 제곱법 및 로그함수 형태를 사용하여 시장 영향을 모델링한다.
• 제시된 시장 영향 역학 하에서 최적의 레버리지 궤적을 유도하기 위해 확률적 제어 문제를 해결한다.
• 성장률 최적화 문제와 관련된 하미르톤-자코비-벨만 방정식을 해결하기 위해 확률적 미적분 기법을 적용한다.
• 유도된 레버리지 궤적의 수치 시뮬레이션을 통해 분석 해법을 검증한다.
• 실제 시장의 거래 제약 조건을 반영하기 위해 마크토마켓 가격이 아닌 포트폴리오의 청산 가치를 목적 함수로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시장 영향은 켈리 기준에서 도출된 최적의 레버리지 전략에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 시장 영향이 제곱법 함수로 모델링될 경우 최적의 레버리지 궤적은 어떤 형태를 띄는가?
• RQ3 시장 영향이 로그함수 형태로 모델링될 경우 최적의 레버리지 궤적은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 실제 시장 영향 역학 하에서 최적의 레버리지에 대한 분석 해법은 수치적으로 검증 가능한가?
• RQ5 마크토마켓 가격이 아닌 청산 가치를 고려할 경우 최적의 투자 정책은 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 일정한 기대 수익률 하에서도 거래로 인한 자산 가격 악영향으로 인해 최적의 레버리지 궤적이 시간이 지남에 따라 감소함을 확인함.
• 제곱법 시장 영향 모델에서 최적의 레버리지가 시간의 거듭 제곱 형태로 감소함을 확인함. 이는 누적 거래로 인한 거래 비용 증가를 반영함.
• 로그함수 형태의 시장 영향 모델에서 최적의 레버리지가 로그 형태로 감소함을 확인함. 이는 점진적이지만 지속적인 리스크 감소를 의미함.
• 최적의 레버리지에 대한 분석 해법이 수치적 시뮬레이션을 통해 검증되었으며, 이론적 예측과 시뮬레이션 결과 간 일관성이 확인됨.
• 시장 영향을 忽시할 경우 실제 시장에서는 최적화되지 않은 과도한 레버리지 전략이 도출됨을 입증함.