[论文解读] Optimal measurements for the dihedral hidden subgroup problem

Dave Bacon, Andrew M. Childs+1 more|Jan 10, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 48被引用 45

一句话总结

该论文确定了用于区分二面体隐子群态的最优测量为粗略测量，并展示了在密度 ν = k/log N ≈ 1 处存在一个成功概率的尖锐阈值，表明需要 Ω(log N) 份副本才能实现非指数级小的成功概率。此外，该研究将最优测量与子集和解的量子采样联系起来，建立了实现该测量与在密度 ν > 1 时求解平均情况子集和问题之间的等价性。

ABSTRACT

We consider the dihedral hidden subgroup problem as the problem of distinguishing hidden subgroup states. We show that the optimal measurement for solving this problem is the so-called pretty good measurement. We then prove that the success probability of this measurement exhibits a sharp threshold as a function of the density nu=k/log N, where k is the number of copies of the hidden subgroup state and 2N is the order of the dihedral group. In particular, for nu<1 the optimal measurement (and hence any measurement) identifies the hidden subgroup with a probability that is exponentially small in log N, while for nu>1 the optimal measurement identifies the hidden subgroup with a probability of order unity. Thus the dihedral group provides an example of a group G for which Omega(log|G|) hidden subgroup states are necessary to solve the hidden subgroup problem. We also consider the optimal measurement for determining a single bit of the answer, and show that it exhibits the same threshold. Finally, we consider implementing the optimal measurement by a quantum circuit, and thereby establish further connections between the dihedral hidden subgroup problem and average case subset sum problems. In particular, we show that an efficient quantum algorithm for a restricted version of the optimal measurement would imply an efficient quantum algorithm for the subset sum problem, and conversely, that the ability to quantum sample from subset sum solutions allows one to implement the optimal measurement.

研究动机与目标

• 确定用于区分二面体隐子群态的最优量子测量，这些态对于求解二面体隐子群问题（DHSP）至关重要。
• 分析该最优测量的成功概率作为副本数量 k 的函数，以密度 ν = k/log N 为参数。
• 建立实现最优测量与在密度 ν 下求解平均情况子集和问题之间的联系。
• 研究最优测量的高效量子电路实现是否能为 DHSP 或相关问题带来新算法。
• 探索单个隐藏子群位的最优测量是否表现出与完整问题相同的阈值行为。

提出的方法

• 应用 Holevo-Yuen-Kennedy-Lax 定理，证明粗略测量（粗略测量）是区分二面体隐子群态的最优测量。
• 分析粗略测量的成功概率作为副本数量 k 的函数，其中 ν = k/log N 为关键密度参数。
• 使用表示论分解，将最优测量条件化于块 x 上，从而将问题简化为块内 POVM。
• 证明：若能从密度 ν 处的子集和问题解中进行量子采样，则可实现最优测量（块条件形式）。
• 建立逆命题：若存在一个在 ν > 1 时高效的子集和量子算法，则可实现最优测量的高效实现。
• 考虑是否存在直接的、非块条件化的最优测量实现方式，可能绕过子集和问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 区分二面体隐子群态的最优量子测量是什么？其是否可通过高效量子电路实现？
• RQ2 最优测量的成功概率是否在副本数量 k 上表现出尖锐阈值？若是，该阈值出现在密度 ν = k/log N 的何处？
• RQ3 能否通过从子集和解中进行量子采样来构建最优测量的高效量子实现？
• RQ4 确定隐藏子群的单个位是否比求解完整 DHSP 显著更简单？
• RQ5 能否通过直接实现最优测量（无需先测量 x）来绕过子集和问题，并为 DHSP 带来新的量子算法？

主要发现

• 通过 Holevo-Yuen-Kennedy-Lax 定理证明，粗略测量是区分二面体隐子群态的最优测量。
• 当 ν < 1 时，最优测量的成功概率在 log N 上呈指数下降，证明了需要 Ω(log N) 份副本才能实现非指数级小的成功概率。
• 当 ν > 1 时，最优测量的成功概率保持恒定（数量级为 1），表明 k = Ω(log N) 份副本足以实现高概率识别。
• 确定隐藏子群最低有效位的最优测量表现出与完整问题相同的阈值行为，表明部分信息并未显著简化问题。
• 实现最优测量（以块条件形式）的充要条件是能够高效地从密度 ν 处的平均情况子集和问题解中进行量子采样。
• 若存在一个在 ν > 1 时高效的子集和量子算法，则可推出一个高效的 DHSP 量子算法；反之，若能高效实现最优测量，则可实现子集和解的量子采样。