[논문 리뷰] Optimal Scalar Linear Index Codes for Three Classes of Two-Sender Unicast Index Coding Problem

A Chinmayananda, B. Sundar Rajan|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 11.

Cooperative Communication and Network Coding인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 단일 송신자 그룹캐스트 인덱스 코딩 문제(SGICP)의 공동 확장(co-extensions)을 활용하여 특정 클래스의 이중 송신자 유니캐스트 인덱스 코딩 문제에 대해 최적의 스칼라 선형 인덱스 코딩을 제안한다. 일반화된 공동 확장의 개념을 도입하고, 하위 문제가 공동 확장의 일종에 속할 경우 TGICP에 대한 최적의 코딩을 구성할 수 있음을 보여주며, 최적성에 필요한 조건을 제시한다.

ABSTRACT

The two-sender groupcast index coding problem (TGICP) consists of a set of receivers, where all the messages demanded by the set of receivers are distributed among the two senders. The senders can possibly have a set of messages in common. Each message can be demanded by more than one receiver. Each receiver has a subset of messages (known as its side information) and demands a message it does not have. The objective is to design scalar linear codes at the senders with the minimum aggregate code length such that all the receivers are able to decode their demands, by leveraging the knowledge of the side information of all the receivers. In this work, optimal scalar linear codes of three sub-problems (considered as single-sender groupcast index coding problems (SGICPs)) of the TGICP are used to construct optimal scalar linear codes for some classes of the TGICP. We introduce the notion of joint extensions of a finite number of SGICPs, which generalizes the notion of extensions of a single SGICP introduced in a prior work. An SGICP $\mathcal{I}_E$ is said to be a joint extension of a finite number of SGICPs if all the SGICPs are disjoint sub-problems of $\mathcal{I}_E$. We identify a class of joint extensions, where optimal scalar linear codes of the joint extensions can be constructed using those of the sub-problems. We then construct scalar linear codes for some classes of the TGICP, when one or more sub-problems of the TGICP belong to the above identified class of joint extensions, and provide some necessary conditions for the optimality of the construction.

연구 동기 및 목표

• 메시지가 두 송신자에 분산되어 있고 수신자가 부가 정보를 가지고 특정 메시지를 요구하는 두 송신자 그룹캐스트 인덱스 코딩 문제(TGICP)를 다루는 것.
• 단일 송신자 그룹캐스트 인덱스 코딩 문제(SGICP)에서 유도된 하위 문제의 구조적 특성을 활용하여 TGICP의 집합 코드 길이를 줄이는 것.
• 다수의 상호배타적인 SGICP의 공동 확장을 일반화하여 보다 복잡한 코딩 구조를 가능하게 하는 것.
• 하위 문제가 특정 공동 확장 클래스에 속할 경우, 구성된 SGICP의 최적 코딩에서 최적의 스칼라 선형 코딩을 구성할 수 있는 클래스를 식별하는 것.
• 하위 문제가 식별된 공동 확장 클래스에 속할 경우, TGICP에 대해 구성된 코딩의 최적성에 필요한 조건을 유도하는 것.

제안 방법

• 유한 개의 SGICP의 공동 확장의 개념을 도입하며, 각 SGICP는 더 큰 SGICP의 상호배타적인 하위 문제이다.
• 개별 SGICP의 최적 스칼라 선형 코딩으로부터 공동 확장의 최적 스칼라 선형 코딩을 구성할 수 있는 공동 확장의 클래스를 정의한다.
• TGICP를 각각 단일 송신자 그룹캐스트 인덱스 코딩 문제인 하위 문제들의 조합으로 재구성한다.
• 하위 문제들의 최적 스칼라 선형 코딩을 사용하여 전체 TGICP에 대한 스칼라 선형 코딩을 구성하며, 최소 집합 길이를 보장한다.
• 공동 확장의 구조와 수신자의 부가 정보에 기반하여 구성된 코딩의 최적성에 필요한 조건을 수립한다.
• 공동 확장에서 하위 문제의 상호배타성을 활용하여 구성 과정 중 코드 구성 요소 간 간섭을 방지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 송신자 유니캐스트 인덱스 코딩 문제에 대해 최적의 스칼라 선형 코딩을 하위 문제의 최적 코딩에서 구성할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 단일 송신자 그룹캐스트 인덱스 코딩 문제의 확장 개념을 다수의 상호배타적인 하위 문제를 다룰 수 있도록 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 어떤 공동 확장의 구조적 특성이 공동 문제의 최적 코딩을 구성 요소의 최적 코딩으로부터 유도할 수 있게 하는가?
• RQ4 TGICP에 대해 구성된 코딩이 집합 코드 길이 측면에서 최적임을 보장하는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ5 TGICP의 어떤 클래스에서 공동 확장 프레임워크가 최적의 스칼라 선형 코딩을 도출하는가?

주요 결과

• 논문은 개별 하위 문제의 최적 스칼라 선형 코딩으로부터 공동 문제의 최적 스칼라 선형 코딩을 구성할 수 있는 SGICP의 공동 확장 클래스를 규명한다.
• 이러한 구성 방법은 하나 이상의 하위 문제가 식별된 공동 확장 클래스에 속할 경우, TGICP 인스턴스의 최소 집합 코드 길이를 보장한다.
• 공동 확장의 구조와 수신자의 부가 정보에 기반하여 구성된 코딩의 최적성에 필요한 조건을 도출한다.
• 다수의 상호배타적인 SGICP를 결합할 수 있도록 허용함으로써 이전의 단일 SGICP 확장 연구를 일반화한 프레임워크를 제공한다.
• 특정 TGICP 클래스에 대해 최적의 스칼라 선형 코딩은 더 단순한 단일 송신자 하위 문제의 최적 코딩을 사용하여 체계적으로 구축할 수 있음을 입증한다.
• 이 접근법은 상호배타적이고 해법이 존재하는 하위 문제로 분해되는 구조적 특성을 활용하여 다중 송신자 인덱스 코딩에서 최적 코딩의 모듈러 설계를 가능하게 한다.