[논문 리뷰] Optimal stopping of a risk process when claims are covered immediately

Bogdan K. Muciek, Krzysztof Szajowski|ArXiv.org|2008. 12. 19.

Probability and Risk Models참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이자율, 인플레이션, 그리고 투자 수익에 대한 즉각적 지급의 영향을 포함하여 즉각적인 보험 청구 지급이 이루어지는 위험 과정에 대한 최적 정지 문제를 수립하고 해결한다. 동적 프로그래밍과 조각별 결정론적 과정을 사용하여 유한 및 무한 청구 기간에 대한 최적 정지 시점을 도출하며, 이는 투자 수익, 청구 지급 시점, 청구 규모 동역학 간의 상호작용에 따라 결정됨을 보여준다.

ABSTRACT

The optimal stopping problem for the risk process with interests rates and when claims are covered immediately is considered. An insurance company receives premiums and pays out claims which have occured according to a renewal process and which have been recognized by them. The capital of the company is invested at interest rate $α\in\Re^{+}$, the size of claims increase at rate $β\in\Re^{+}$ according to inflation process. The immediate payment of claims decreases the company investment by rate $α_1$. The aim is to find the stopping time which maximizes the capital of the company. The improvement to the known models by taking into account different scheme of claims payment and the possibility of rejection of the request by the insurance company is made. It leads to essentially new risk process and the solution of optimal stopping problem is different.

연구 동기 및 목표

• 청구가 즉시 지급되어 일반 자본 수익률과 다른 속도로 투자 성장에 영향을 주는 보험 위험 과정을 모델링한다.
• 기존의 집단 위험 이론에서의 최적 정지 모델을 확장하여 인플레이션, 즉각적 청구 정산, 청구 거부 가능성(베르누이 분포를 따르는 $\epsilon_n$을 통해)을 통합한다.
• 유한 및 무한 시간 기간을 고려하여 기업 자본의 기대 효용을 최대화하는 최적 정지 시점을 도출한다.
• 정지 시점의 공간에서 동적 프로그래밍과 수축 사상 기반으로 최적 정지 시점의 존재성과 특성화를 확립한다.
• 즉각적 청구 지급이 이전의 지연 또는 지급이 없는 모델의 직접적인 확장이 아니며, 새로운 분석 도구가 필요함을 보여준다.

제안 방법

• 자본 성장률 $\alpha$, 보험료 수입률 $c$, 청구 지급률 $X_n e^{\beta T_n} e^{\alpha_1 (t - T_n)}$을 갖는 조각별 결정론적 과정으로 위험 과정 $U_t$를 수립한다.
• 효용 함수 $g(U_t, t_0 - t)$를 도입하고, 수익 과정 $Z(t) = g(U_t) \mathbf{1}_{\{U_s > 0, \, \forall s \leq t\}}$를 정의한다.
• 조건부 기대를 통한 연산자 $\Phi$를 정의하여, 유한 및 무한 기간에 걸친 최적 정지 문제를 동적 프로그래밍으로 해결한다.
• 과정 $\eta_t = (t, U_t, Y_t, V_t)$의 강한 생성자 $A$를 사용하여 과정의 무한소 생성자를 특성화하고, 동적 프로그래밍 방정식을 유도한다.
• 상호작용 간격 시간이 $t_0$를 초과할 확률이 양수임을 가정하여, 연산자 $\Phi$에 대한 수축 사상 기반으로 최적 정지 시점의 존재성을 확립한다.
• 청구 간격 시간의 밀도 $f$, 생존 함수 $\bar{F}$, 청구 규모 분포 $H$를 포함하여, 청구 규모, 청구 거부 확률 $p$, 인플레이션 $\beta$, 투자 수익률 $\alpha$, $\alpha_1$의 영향을 반영한 강한 생성자 $A\tilde{g}$의 명시적 형태를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토케스틱 청구와 이자율이 존재하는 위험 과정에서 즉각적 청구 지급은 최적 정지 시점에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 청구가 즉각 지급되고 기업 자본이 청구 지급 속도와 다른 속도로 투자되는 경우, 최적 정지 시점의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 청구 거부($\epsilon_n$을 통한)와 인플레이션($\beta$)을 포함함으로써, 기존 표준 모델과 비교해 위험 과정과 최적 정지 전략은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 무한 기간 위험 과정에 대한 최적 정지 문제는 유한 기간 해의 극한을 통해 해결될 수 있는가? 수렴을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 조각별 결정론적 위험 과정에 랜덤 점프가 존재할 경우, 강한 생성자는 최적 정지 시점의 특성화에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 무한 기간 문제에 대한 최적 정지 시점 $\tau^*$는 $K \to \infty$일 때 유한 기간 최적 정지 시점 $\tau^*_{n,K}$의 거의 확실한 극한으로 존재한다.
• 유한 기간 문제의 해는 연산자 $\Phi$에 의해 특성화되며, 상호작용 간격 시간이 $t_0$를 초과할 확률이 양수임을 가정할 경우 이 연산자가 수축 성질을 만족한다.
• 과정 $\eta_t$의 강한 생성자 $A\tilde{g}$는 청구 규모, 청구 거부 확률 $p$, 인플레이션 $\beta$, 투자 수익률 $\alpha$, $\alpha_1$의 영향을 반영하여 명시적으로 도출되었다.
• 제 $n$번째 청구 시점의 최적 정지 시점 $\tilde{\tau}_n$은 $\mathbb{E}[Z(\tilde{\tau}_n) \mid \mathcal{F}_n] = \mu_n \gamma(U_{T_n}, T_n)$ a.s.를 만족한다. 여기서 $\mu_n$은 시간 $T_n$에서의 가치 함수이다.
• 즉각적 청구 지급을 포함하는 모델은 지연 또는 지급이 없는 모델과 비교해 본질적으로 다른 위험 과정과 해를 유도하며, 이는 $\alpha_1$에 대한 비자명한 의존성과 청구 거부 메커니즘의 존재로 입증된다.
• Ferenstein & Sierociński(1997), Muciek(2002), Yasuda(1984), Schöttl(1998)의 이전 결과의 직접적 결과가 아니며, 청구 지급 시점의 고유한 구조와 자본 역학에 대한 영향으로 인해 새로운 분석 도구가 필요하다.