[논문 리뷰] Optimal stopping problems for a Brownian motion with a disorder on a finite interval

Albert N. Shiryaev, Mikhail Zhitlukhin|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 유한 시간 간격 내에서 드리프트가 알려지지 않은 시점에 양의 값에서 음의 값으로 변화하는 '불규칙성'이 있는 브라운 운동 및 기하 브라운 운동에 대한 최적 정지 문제를 해결한다. 측도 변화와 쇼르야에프-로버츠 통계량을 사용하여, 최적 정지 시점을 마코프 과정이 시간에 따라 변하는 경계에 처음으로 도달하는 시점으로 기술하고, 이 경계는 볼테라 적분방정식으로 특성화된다. 주요 결과로는, 위험 중립적 투자자와 위험 회피적 투자자가 자산 청산 시점에서 서로 다른 행동을 보임을 밝혀낸다.

ABSTRACT

We consider optimal stopping problems for a Brownian motion and a geometric Brownian motion with a "disorder", assuming that the moment of a disorder is uniformly distributed on a finite interval. Optimal stopping rules are found as the first hitting times of some Markov process (the Shiryaev-Roberts statistic) to time-dependent boundaries, which are characterized by certain Volterra integral equations. The problems considered are related to mathematical finance and can be applied in questions of choosing the optimal time to sell an asset with changing trend.

연구 동기 및 목표

• 드리프트가 알려지지 않은 시점에 변화하는 선형 또는 기하 브라운 운동의 기대값을 최대화하는 최적 정지 시점을 결정하는 것.
• 불규칙성 발생 시점을 유한 간격 내에서 균일 분포로 모델링하여 금융 버블에 대한 베이지안 불확실성을 반영하는 것.
• 최적 정지 규칙을 마코프 과정(쇼르야에프-로버츠 통계량)이 시간에 따라 변하는 경계에 처음으로 도달하는 시점으로 기술하는 것.
• 측도 변화 하에서 볼테라 적분방정식을 통해 경계를 특성화하는 것.
• 불규칙성 존재 하에서 위험 중립적 및 위험 회피적 투자자의 자산 청산 행동을 비교하는 것.

제안 방법

• 기존 확률 측도를 브라운 운동 측도로 변환하기 위해 측도 변화를 사용하여 우도 과정이 확산이 되는 것을 보장하는 것.
• 불규칙성 탐지의 충분통계량으로 쇼르야에프-로버츠 통계량을 적용하여 문제를 마코프 최적 정지 프레임워크로 축소하는 것.
• 새로운 측도 하에서 사후 확률 과정 ψ_t 의 동역학을 도출하며, 이는 드리프트 및 변동성 파rameter를 포함한 확률미분방정식을 만족한다.
• 최적 경계 a(t) 를 최적성 조건에서 유도된 볼테라 적분방정식의 해로 특성화하는 것.
• 페인만-카프 공식과 이토의 보조정리를 사용하여 새로운 측도 하에서 기대 수익의 명시적 표현을 도출하는 것.
• 이전 연구(참고문헌 [10])의 정리를 적용하여 최적 정지 시점이 ψ_t 가 시간에 따라 변하는 경계 a(t) 에 처음으로 도달하는 시점임을 증명하며, 이는 T로 제한된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불규칙성 발생 시점이 유한 간격 내에서 균일 분포일 때, 불규칙성이 있는 브라운 운동의 최적 정지 시점은 무엇인가?
• RQ2 위험 중립적(기대값 E[S_τ] 최대화)과 위험 회피적(기대값 E[X_τ] 최대화) 투자자 간의 최적 정지 규칙은 어떻게 다를까?
• RQ3 최적 정지 시점은 마코프 과정이 시간에 따라 변하는 경계에 처음으로 도달하는 시점으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 유한 시간 간격이 존재할 경우 최적 경계를 특성화하는 적분방정식은 무엇인가?
• RQ5 불규칙성 발생 시점의 분포는 금융 버블 상황에서 최적 청산 시점에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 선형 브라운 운동 문제의 최적 정지 시점은 쇼르야에프-로버츠 통계량이 시간에 따라 변하는 경계 a(t) 에 처음으로 도달하는 시점이며, 이 경계는 볼테라 적분방정식의 해로 표현된다.
• 기하 브라운 운동의 경우에도 최적 정지 시점은 동일한 통계량이 시간에 따라 변하는 경계에 처음으로 도달하는 방식으로 동일하게 특성화되며, 경계는 측도 변화를 통해 유도된다.
• 위험 중립적 투자자(E[S_τ] 최대화)는 P(θ < T) = 1일 경우, 즉 T에 질량이 없을 경우 확률 1로 T 이전에 매도한다.
• 위험 회피적 투자자(E[X_τ] 최대화)는 동일한 조건 하에서 T에 도달할 확률이 양수일 수 있다. 즉, P(τ_*^{(l)} = T) > 0 이다.
• 값 함수 V^{(l)} 과 V^{(g)} 는 이토의 공식과 측도 변화를 통해 유도된 과정 ψ_t 와 시간에 따라 변하는 경계를 포함하는 기댓값으로 표현된다.
• 경계 함수 a(t) 는 [0,T] 에서 연속적이고 비증가적이며, 최적 정지 규칙의 최적성을 보장하는 볼테라 적분방정식을 만족한다.