[논문 리뷰] Optimizing MGRIT and Parareal coarse-grid operators for linear advection

Hans De Sterck, Robert D. Falgout외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 09.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 운동 방정식 문제에 적용된 MGRIT 및 Parareal 솔버에 대해 최적화된 굵은 그리드 연산자를 제안하며, 표준 재디스크리티제이션 대신 최적화를 통해 유도된 특성 인식 연산자를 도입한다. 굵은 그리드에서 특성 곡선을 추적함으로써, 다양한 시간 스텝 방법에 대해 몇 번의 반복만으로도 스케일러블 수렴성을 달성한다. 이는 초구형 PDE에서 오랫동안 지속된 스케일러비리티 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Parallel-in-time methods, such as multigrid reduction-in-time (MGRIT) and Parareal, provide an attractive option for increasing concurrency when simulating time-dependent PDEs in modern high-performance computing environments. While these techniques have been very successful for parabolic equations, it has often been observed that their performance suffers dramatically when applied to advection-dominated problems or purely hyperbolic PDEs using standard rediscretization approaches on coarse grids. In this paper, we apply MGRIT or Parareal to the constant-coefficient linear advection equation, appealing to existing convergence theory to provide insight into the typically non-scalable or even divergent behavior of these solvers for this problem. To overcome these failings, we replace rediscretization on coarse grids with improved coarse-grid operators that are computed by applying optimization techniques to approximately minimize error estimates from the convergence theory. One of our main findings is that, in order to obtain fast convergence as for parabolic problems, coarse-grid operators should take into account the behavior of the hyperbolic problem by tracking the characteristic curves. Our approach is tested for schemes of various orders using explicit or implicit Runge-Kutta methods combined with upwind-finite-difference spatial discretizations. In all cases, we obtain scalable convergence in just a handful of iterations, with parallel tests also showing significant speed-ups over sequential time-stepping. Our insight of tracking characteristics on coarse grids provides a key idea for solving the long-standing problem of efficient parallel-in-time integration for hyperbolic PDEs.

연구 동기 및 목표

• 표준 굵은 그리드 재디스크리티제이션을 사용할 경우 MGRIT 및 Parareal이 운동 우세 및 초구형 PDE에서 열악한 스케일러비리티와 수렴성을 보이는 문제를 해결하기 위해.
• 수렴 이론에서 유도된 오차 추정치를 분석함으로써, 표준 접근 방식이 선형 운동 방정식에서 왜 실패하는지 규명하기 위해.
• 특히 특성 곡선의 행동을 고려한 초구형 문제의 특성에 맞는 개선된 굵은 그리드 연산자를 개발하기 위해.
• 최적화 기반 연산자 설계를 통해 선형 운동 방정식에 대한 병렬 시간 기반 솔버에서 스케일러블이고 빠른 수렴을 가능하게 하기 위해.
• 다양한 시간 적분 방법, 특히 업윈드 유한 차분을 사용한 명시적 및 암시적 룬게-쿠타 방법을 포함하여, 접근 방식을 검증하기 위해.

제안 방법

• 기존 수렴 이론에서 유도된 오차 추정치를 최소화하는 방식으로, 표준 굵은 그리드 재디스크리티제이션을 최적화된 연산자로 대체한다.
• 최적화 기법을 적용하여 특성 곡선을 추적함으로써, 운동의 방향성 특성을 반영한 굵은 그리드 연산자를 구성한다.
• MGRIT 및 Parareal 양쪽 모두에 적용 가능한 동일한 최적화된 연산자를 사용하여, 두 방법에 동일한 접근 방식을 적용한다.
• 일정 계수를 가진 선형 운동에 대해 연산자를 설계하여, 미세 그리드 공간 이산화 방법(예: 업윈드 유한 차분)과 일致성을 확보한다.
• 다양한 시간 적분 방법(명시적 및 암시적 룬게-쿠타 방법 포함)을 사용하여, 강건성과 스케일러비리티를 평가한다.
• 병렬 성능을 평가하여 순차적 시간 스텝 대비 가속도를 확인함으로써 고성능 계산 환경에서의 실용성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 굵은 그리드 재디스크리티제이션을 사용할 경우 MGRIT 및 Parareal이 선형 운동 방정식 문제에서 수렴하지 못하거나 효율적으로 스케일링되지 않는 이유는 무엇인가?
• RQ2 운동 우세 초구형 PDE의 초구형 특성을 반영하기 위해 굵은 그리드 연산자를 어떻게 개선할 수 있는가?
• RQ3 특성 곡선은 병렬 시간 기반 방법의 효과적인 굵은 그리드 연산자 설계에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 균형 조정된 굵은 그리드 연산자를 통해 선형 운동 방정식에서 몇 번의 반복만으로도 스케일러블 수렴이 가능할 수 있는가?
• RQ5 제안된 연산자가 다양한 시간 적분 방법과 공간 이산화 방법에 걸쳐 얼마나 강건한가?

주요 결과

• 제안된 최적화된 굵은 그리드 연산자는 선형 운동 방정식 문제에서 몇 번의 반복만으로도 스케일러블 수렴성을 달성하여, 기존 MGRIT 및 Parareal 접근 방식의 일반적인 비스케일러블성 문제를 해결한다.
• 굵은 그리드 연산자에 특성 곡선 추적 기능을 통합함으로써 오차 전파가 크게 감소하고 수렴 속도가 빨라진다.
• 이 방법은 명시적 및 암시적 룬게-쿠타 방법을 포함한 다양한 시간 적분 방법에 효과적으로 적용되며, 광범위한 적용 가능성을 보여준다.
• 심지어 미세 그리드 방법이 업윈드 유한 차분이더라도, 표준 재디스크리티제이션보다 최적화된 연산자가 더 뛰어난 성능을 보인다.
• 병렬 성능 테스트를 통해 순차적 시간 스텝 대비 상당한 가속도를 확인하였으며, 고성능 계산 환경에서의 실용적 관련성을 입증한다.