[논문 리뷰] Orderability of Homology Spheres Obtained by Dehn Filling

Xinghua Gao|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 26.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 34인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유리수 동형 3차원 구면에서 디한 필링을 통해 얻어진 기본군의 왼쪽 순서 가능성(left-orderability)을 연구하기 위해 호로노미 확장 위치(locus)를 도구로 도입한다. $π_1$-표현을 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$의 $π_1$-일반화 피복으로 분석함으로써, 왼쪽 순서 가능성을 갖는 디한 필링 기울기의 구간을 구축하며, 추적 필드(trace field)에 실수 임베딩이 존재하고, 동반 곡선(longitude)의 이동 수(translation number)가 0일 경우 이러한 군이 순서 가능함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we develop a method for constructing left-orders on the fundamental groups of rational homology 3-spheres. We begin by constructing the holonomy extension locus of a rational homology solid torus $M$, which encodes the information about peripherally hyperbolic $\widetilde{ ext{PSL}_2\mathbb{R}}$ representations of $π_1(M)$. Plots of the holonomy extension loci of many rational homology solid tori are shown, and the relation to left-orderability is hinted. Using holonomy extension loci, we study rational homology 3-spheres coming from Dehn filling on rational homology solid tori and construct intervals of Dehn fillings with left-orderable fundamental group.

연구 동기 및 목표

• 디한 필링을 통해 얻어진 유리수 동형 3차원 구면의 기본군의 왼쪽 순서 가능성 결정 방법을 개발하는 것.
• 표준 이동 확장 위치(loci)를 넘어서 $π_1$-표현을 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$의 $π_1$-일반화 피복에 적용하는 것의 확장.
• 표현 다양체의 기하학적·대수적 불변량을 사용하여 왼쪽 순서 가능성을 유도하는 디한 필링 기울기를 특성화하는 것.
• 추적 필드에 실수 임베딩이 존재할 경우, 큰 기울기 구간에서의 디한 필링 기울기가 순서 가능해지는 충분조건을 설정하는 것, 특히 이 경우에 대해.

제안 방법

• 경계 $\partial M$에서의 $H^1(\partial M;\mathbb{R})$에 있어서, 중심에서 타원형 또는 포물형인 $π_1$-표현의 이미지의 폐포로 호로노미 확장 위치를 정의한다.
• 이동 수 불변량을 사용하여 군 원소가 $\mathbb{R}$ 위에서 어떻게 작용하는지 추적하며, 특히 고리와 동반 곡선에 대해 분석한다.
• 기본군이 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$의 $π_1$-일반화 피복으로의 비자명한 $π_1$-표현을 갖는 디한 필링 기울기 $r$의 구간을 구성함으로써, 왼쪽 순서 가능성의 가능성을 보장한다.
• 동반 곡선의 이동 수가 0임을 조건으로 하여, 전체 기울기 구간에 걸쳐 이러한 표현이 존재함을 보장한다.
• 표현 다양체와 변형 이론을 적용하여, 큰 $n$에 대해 수평선 $L_{-1/n}$과의 교차가 횡단함을 보이며, 유효한 표현을 도출한다.
• 실수 임베딩이 존재하는 추적 필드를 가진 충실한 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$-표현은 이동 수가 제어 가능한 방식으로 일반화 피복으로의 올림이 가능하다는 사실을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정리 5.1에서의 동반 곡선 강성 조건을 제거하면서도 디한 필링의 왼쪽 순서 가능성을 보장할 수 있는가?
• RQ2 표현 다양체의 성질을 활용하여, 순서 가능 디한 필링 기울기의 구간을 $(-a,0)$에서 $(-a,b)$로 $a,b>0$로 확장할 수 있는가?
• RQ3 일반적으로 초월적 끈 외부의 추적 필드가 실수 임베딩을 가지며, $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$의 $π_1$-일반화 피복으로의 비자명한 $π_1$-표현을 허용하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 하이퍼볼릭 다양체에서 동반 곡선의 이동 수를 계산하는 알고리즘이 존재하는가, 그리고 정리 6.1의 종수 조건을 약화시킬 수 있는가?

주요 결과

• 유리수 동형 고체 토러스의 호로노미 확장 위치는 국소적으로 유한한 해석적 호와 고립점들의 합집합이며, 무한 이면체군의 작용에 대해 불변하다.
• 하이퍼볼릭 $π_1$-동형 고체 토러스 $M$에 대해, $0$-필링인 $M(0)$이 종수 $\geq 2$인 매핑 토러스이고, 동반 곡선의 이동 수가 0이라면, 모든 충분히 큰 $n$에 대해 $M(1/n)$은 순서 가능하다.
• 호로노미 표현의 추적 필드에 실수 임베딩이 존재하고, 동반 곡선의 이동 수가 0일 경우, 큰 $|n|$에 대해 $M(1/n)$은 순서 가능하다.
• 이 구성은 큰 $n$에 대해, 미리어리안 $\mu$가 동반 곡선의 이동 수의 $-n$ 배만큼 이동하는 원소로 매핑되며, 이는 $\mu\lambda^n$에서 자명한 호로노미를 갖는 일반화 피복으로의 올림을 가능하게 한다.
• 표현 다양체 $R_{\widetilde{G}}(M)$는 $0$ 주변의 전체 기울기 구간에서 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$의 $π_1$-일반화 피복으로의 비자명한 $π_1$-표현을 제공하며, 이는 왼쪽 순서 가능성의 가능성을 암시한다.
• 충실한 $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$-표현을 가진 종수 $\geq 2$인 매핑 토러스는 표면에 대한 표면의 기본군이 토르션을 갖지 않으며, 단순주기적 단위체를 갖는다는 점에서, 표면에서의 표현이离산(discrete)이 될 수 없다는 것이 입증된다.